Inequação Logarítmica III

por Lucas Guedes Sáb 07 maio 2016, 12:46

$Sendo\ 0<k<1,\ resolva\ a\ inequa\c{c}\tilde{a}o:\ \log_{kx}{x}+\log_{x}{(kx^2)}>0$

Gabarito:

O que fiz foi o seguinte:

por **Christian M. Martins** Sáb 07 maio 2016, 14:33

Só uma observação: ao meu ver deveria ser intersecção (∧) - como posto na minha resolução, situada logo abaixo -, não união (∨).

$\\log_{kx}x + log_{x}(kx^{2}) = \frac{log_{k}x}{log_{k}kx} + \frac{log_{k}kx^{2}}{log_{k}x}= \frac{(log_{k}x)(log_{k}x) + (log_{k}kx^{2})(log_{k}kx)}{(log_{k}kx)(log_{k}x)} = \\ \\ = \frac{log^{2}_{k}x + (log_{k}k + 2log_{k}x)(log_{k}k + log_{k}x)}{(log_{k}k + log_{k}x)(log_{k}x)} = \frac{log_{k}^{2}x + (2log_{k}x + 1)(log_{k}x + 1)}{(log_{k}x + 1)(log_{k}x)} =\\ \\ = \frac{log_{k}^{2}x + 2log_{k}^{2}x + 3log_{k}x + 1}{log_{k}^{2}x + log_{k}x} = \frac{3log_{k}^{2}x + 3 log_{k}x + 1}{log_{k}^{2}x + log_{k}x}\\ \\ y = log_{k}x\\ \\ 3y^{2} + 3y + 1\rightarrow S = \left \{ \O \right \} \; \;(\nexists \; y<0)\\ y^{2} + y\rightarrow y' = -1 \\.\; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; y'' = 0\\ \\ log_{k}x < -1 \; \; (I)\\ log_{k}x > 0 \; \; (II)\\ \\ (I) \; \; log_{k}x < log_{k}\frac{1}{k} \; \; \therefore \; \; x > \frac{1}{k}\\ \\ (II) \; \; log_{k}x > log_{k}1 \; \; \therefore \; \; x < 1\\ \\ C.E.: 0 < x\\ \\ \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\;\; |\;\; 0<x<1\ \lor\ x> \frac{1}{k}\right\}}$

por Lucas Guedes Sáb 07 maio 2016, 21:23

Muito obrigado Christian M. Martins. A respeito da intersecção ou união na resposta final, creio que seja mais apropriado utilizarmos a união (ou disjunção), pois os valores de x que satisfazem à nossa inequação são valores deduzidos a partir do conhecimento das raízes do denominador de $\frac{3\log^2_{k}{x}+3\log_{k}{x}+1}{\log^2_k+\log_k{x}}>0\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{3y^2+3y+1}{y^2+y}>0$ que são $y=-1\;\;\lor\;\;y=0$ . Daí, vem:
$\frac{3y^2+3y+1}{y^2+y}>0\;\;\Leftrightarrow\;\; y<-1\;\lor\; y>0\;\;(coeficiente\ a>0)\\ .\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;\; \log_k{x}<-1\;\lor\;\log_k{x}>0$

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