Quadradro inscrito em triângulo retângulo

por **Elcioschin** Seg 15 Nov 2010, 19:46

Tem-se um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b, c.
Inscreve-se no mesmo um quadrado, de forma que um dos seus lados L fique sobre a hipotenusa. Prove que:

L= a.b.c/(a² + bc)

Quadradro inscrito em triângulo retângulo Trikh

por **adriano tavares** Seg 15 Nov 2010, 20:28

Olá, Elcioschin.

Quadradro inscrito em triângulo retângulo Quadradoinscrito

Vamos calcular a altura do triângulo ABC aplicando as relações métricas.

$(AB).(AC)=(BC).h \Rightarrow bc=a.h \Rightarrow h=\frac{bc}{a}$

Calculando (H-L) teremos:

$(AB).(AC)=(BC).h \Rightarrow bc=a.h \Rightarrow h=\frac{bc}{a}$

$H-l=\frac{bc}{a}-L \Rightarrow H-L=\frac{bc-La}{a}$

Sendo os triângulos ABC e ADE semelhantes teremos:

$\frac{L}{a}=\frac{H-L}{H}\Rightarrow \frac{L}{a}=\frac{\frac{bc-La}{a}}{\frac{bc}{a}}\Rightarrow \frac{L}{a}=\frac{bc-La}{bc}$

$Lbc=abc-La^2\Rightarrow Lbc+La^2=abc \Rightarrow l(a^2+bc)=abc\Rightarrow L=\frac{abc}{(a^2+bc)}$