Retângulo inscrito em um triângulo

A área do maior retângulo inscrito em um triângulo retângulo tem a metade deste.
Como posso demonstrar que tal afirmação é verdadeira?
:flower:

Seja ABC o triângulo retângulo em A, tal que AC = b, AC = b

Desenhe o triângulo num sistema xOy com A na origem, C no eixo x e B no eixo y

S(ABC) = b.c/2 ---> I

Desenhe um retângulo AMNP com AM no eixo X, AP no eixo y e N em BC

Seja AM = x (base do retângulo) e AP = y (altura do retângulo):

BP = AB - AP ----> BP = c - y
CM = AC - AM ---> CP = b - x

BP/PN = MN/CM ---> (c - y)/x = y/(b - x) ---> y = c - (c/b).x

Sr = x.y/2 ---> Sr = x.[c - (c/b).x]/2 ---> Sr = - (c/2.b).x² + (c/2).x

Parábola com a concavidade voltada para baixo: o máximo ocorre no vértice:

xV = (- c/2)/2.(- c/2.b) ---> xV = b/2

Sr(máx) = - (c/2.b).(b/2)² + (c/2).(b/2) ---> Sr(máx) = b.c/4 ---> 

Sr(máx) = (b.c/2)/2 ---> Sr(máx) = S(ABC)/2