retângulo inscrito em triângulo

por rodrigomr Ter 21 Ago 2012, 14:19

Em um triângulo retângulo ABC, reto em A, está inscrito um retângulo de lados paralelos aos catetos. Sabe-se que AB = 20, BC=5V17 e a área do retângulo corresponde a 40% da área do triângulo. Um retângulo que satisfaz as condições acima tem lados com medidas iguais a:

gabarito: 2(5-V5) er (5+V5)/2

por FernandoPP- Ter 21 Ago 2012, 18:18

Aplicando Pitágoras no triângulo ABC, temos:
AC² = (5√17)² - 20² → AC = 5

Área do triângulo ABC:
S = (20.5)/2 = 50

Área do retângulo:
0,40.50 = 20 → x.y = 20 (I)

∆EFC ~ ∆ABC → y/20 = (5-x)/5 → y = 20 - 4x (II)

Substituindo (II) em (I), temos x² - 5x + 5 = 0 → x = (5 + 5√2)/2 e substituindo novamente temos que y = 2(5 -√5)

Fernando.