MACK-75 arco seno

por Lucas Frazão Sáb 10 Out 2015, 19:02

O conjunto solução de arcsen 2x - 3 arcsenx=0 tem:
a)0 elementos
b)1 elemento
c)2 elementos
d)3 elementos
e)4 elementos

gabarito:

Grato desde já!

por **Elcioschin** Dom 11 Out 2015, 16:45

Apenas trabalhoso

Fórmulas básicas: cos(3y) = 4.cos³y - 3.cosy ---> sen3y = 3.seny - 4.sen³y

arcsen2x - 3.arcsenx = 0

sen(arcsen2x - 3.arcsenx) = sen0

sen(arcsen2x).cos(3.arcsenx) - sen(3.arcsenx).cos(arcsen2x) = 0

sen(arcsen2x) = 2x

Para y = arcsenx:

cos(3.arcsenx) = cos3y = 4.cos³y - 3.cosy ---> Substitua y = arcsenx e calcule
sen(3.arcsenx) = sen3.y = 3.seny - 4.sen³y ---> Idem

cos(arcsen2x) ---> senθ = 2x ---> cosθ = √(1 - 4x²) ---> cos(arcsen2x) = √(1 - 4x²)

Substitua e calcule x

por **Carlos Adir** Dom 11 Out 2015, 17:35

Outra maneira seria:
arcsen(2x) = 3 arcsen(x)
sen(arcsen(2x))=sen(3arcsen(x))
2x = sen(3arcsen(x))
Mas conforme achado pelo Mestre Elcio:
sen 3y = 3sen y - 4 sen³y
Assim:
2x = 3 sen(arcsen(x))-4[sen(arcsen(x))]³
2x = 3x - 4x³
-4x³+x=0
x(4x²-1)=0
Assim, x=0, x=1/2, x=-1/2

Portanto, 3 elementos.