Identificar a curva

Identifique a curva de equação x^2 − 8x + 16 − 4y = 0, 
(a)faça um esboço detalhado da mesma, determinando os pontos de interseção com os eixos coordenados, centro, vértices, focos, diretriz, assíntotas, se houver. 
(b) Determine a equação do círculo de menor raio, com centro na curva do item anterior e tangente aos eixos coordenados.

Esta matéria esta um tanto quanto nebulosa pra mim, a quem puder me ajudar desde já agradeço.

a) Uma boa maneira é voce aprender a completar quadrado.
Podemos reescrever a função como:
x² - 8x + 16 - 4y = 0
4y = x² - 8x + 16
4y = x² - 2 . x . 4 + 4²
4y = (x - 4)²
y = (x-4)²/4
Portanto, trata-se de uma parábola.
Pra fazer um esboço é só desenhar dois eixos, e começar a jogar pontos e verificar quando satisfaz. Podemos perceber então que se trata:

Fica facil perceber que se y=0, então x=4. Se x=0, então y=4. São nesses lugares que tocam os eixos coordenados.
O centro da parábola? Parábola tem foco, vértice e diretriz.
O vértice no caso é o ponto mínimo, portanto V=(4, 0).
O vértice está entre o foco e a diretriz. Para achar o foco e a diretriz, podemos ver que o vértice está entre o foco e a diretriz.
Outra maneira de escrever a parábola é:
2y = [(x-x0)²/(y0-c)] + (y0 + c)
Sendo então a reta diretriz y = c, e o foco (x0, y0)
Portanto, colocando na equação temos:
2y = [(x-4)²/2] + 0
Disto podemos tirar que y0+c=0, x0=4 e que y0-c=2. Agora resolvendo o sistema temos que y0=1 e c=-1.
Portanto, o foco é (4, 1) e a reta diretriz é y=-1.

b) A circunferência ficará como abaixo:

Como a circunferência é tangente aos eixos, então o centro será (n, n) e a circunferência terá raio n.
E como (n, n) pertence à parábola. Então:
4n = (n - 4)² ---> n² - 12 n + 16 = 0 ---> n = 6±√20
Como pede o circulo de menor raio, n=6-√20.
Logo, a equação do circulo é:
(x-6+√20)²+(y-6+√20)²=(6-√20)²

Nossa Prof. Carlos, parabéns pela sua transparência cara, o senhor conseguiu fazer o ceguinho aqui enxergar  :cyclops:, muito boa a sua explicação. Muito obrigado, de verdade. Espero um dia poder dominar isso e retribuir o favor.