(Cesgranrio) O conjunto dos pontos z = x + yi

por cassiobezelga Qua 12 Ago 2015, 20:27

(Cesgranrio) O conjunto dos pontos z = x + yi do plano complexo que satisfazem |z – 1|^2 = 2x e y ≥ 2 é

A) o conjunto vazio.
B) uma região não limitada do plano.
C) todos os pontos x + yi tais que y ≥ 2.
D) uma reta.
E) diferente dos quatro anteriores.

por **Jose Carlos** Qua 12 Ago 2015, 22:24

z = x + y*i

z - 1 = x + y*i - 1 = ( x - 1 ) + y*i

| z - 1 | = | ( x - 1 ) + y*i | = \/( x - 1 )² + y² )

| z - 1 |² = ( x - 1 )² + y² = x² - 2x + 1 + y²

x² - 2x + y² + 1

x² - 2x + 1 + y² = 2x

x² - 4x + 4 + y² = 3

( x - 2 )² + y² = 3 -> circunferência de centro C( 2, 0 ) e raio = \/3

assim a interseção com a região y > 2 será wazia.

por **Ashitaka** Qua 12 Ago 2015, 22:29

|x + yi - 1|² = 2x
(x-1)² + y² = 2x
x² - 4x + y² + 1 = 0
y² = -x² + 4x - 1

∆ = 4² - 4(-1)(-1) = 12
O valor máximo de -x² + 4x - 1 é -∆/(4a) = -12/(-4) = 3.
Entretanto, y² = -x² + 4x - 1 e y² é maior ou igual a 4, segundo o enunciado. Como achamos que o máximo é y² = 3, não existe número que satisfaça, logo a resposta é A.

por Armando Vieira Qua 07 Nov 2018, 15:28

Ashitaka escreveu:|x + yi - 1|² = 2x
(x-1)² + y² = 2x
x² - 4x + y² + 1 = 0
y² = -x² + 4x - 1

∆ = 4² - 4(-1)(-1) = 12
O valor máximo de -x² + 4x - 1 é -∆/(4a) = -12/(-4) = 3.
Entretanto, y² = -x² + 4x - 1 e y² é maior ou igual a 4, segundo o enunciado. Como achamos que o máximo é y² = 3, não existe número que satisfaça, logo a resposta é A.

Alguém pode explicar a segunda linha
não entendi como:
|x + yi - 1|² = 2x
vira:
(x-1)² + y² = 2x

por **Elcioschin** Qua 07 Nov 2018, 17:28

Por definição, se w = a + b.i ---> |w| = √(a² + b²) ---> |w|² = a² + b²

z = x + y.i

|z - 1|² = 2.x ---> |(x + y.i) - 1|² = 2.x ---> |(x - 1) + y.i|² = 2.x --->

Neste caso temos a = x - 1 e b = y ---> (x - 1)² + y² = 2.x