Conjunto dos pontos equidistantes

(UNISA) - Se A representa o conjunto dos pontos equidistantes de P (-5; 0), Q (2; 0) e R (-1; 0) e B representa o conjunto dos pontos de ordenada igual a 2, então, pode-se afirmar que:

a)

b)

c)

d)

e)

Resposta:

Spoiler:

a) Ponto médio de PQ: M(xM, yM)

xM = (xP + xQ)/2 ----> xM = (-5 + 2)/2 ---> xM = - 3/2 ---> yM = 0

b) Equação da madiatriz de PQ ----> x = - 3/2

b) Ponto médio de PR: N(xN, yN)

xN = (xP + xR)/2 ---> xN = (-5 + 0)/2 ---> xN = - 5/2 ---> yN = (0 - 1)/2 ---> yN = - 1/2

c) Equação da reta PR ----> y - yP = [(yQ - yP)/(xQ - xP)]*(x - xP) ---->

y - 0 = [(-1 - 0)/(0 + 5)]*(x + 5) ----> y = (-1/5)*x - 1 ----> m = - 1/5

d) Equação da madiatriz de PR ----> y - yN = m'(x - xN) ----> m' = 5

y + 1/2 = 5*(x + 5/2) ----> y = 5x + 12

Ponto C de encontro das duas mediatrizes ----> yC = 5*(-3/2) + 12 ----> yC = 9/2

C(- 3/2, 9/2) ----> Este ponto é o circuncentro do triângulo PQR, isto é, o ponto equidistante dos pontos P, Q e R.

Este ponto NÃO está sobre a reta y = 2 ----> Alternativa C

Acho que seu gabarito está errado

Elcioschin, obrigado pela ajuda, mas acredito que você cometeu um equívoco.

Se os três pontos possuem ordenada igual a zero, eles estão alinhados, logo, não formam triângulo, correto?

Para a alternativa d estar correta, o conjunto A deve ser vazio, não havendo, portanto, nenhum ponto equidistante de P, Q e R.

Não sei se entendi direito, mas acho que, como P, Q e R não estão igualmente espaçados (a distância entre P e R é 4, e a distância entre R e Q é 3), realmente não dá para ter um ponto equidistante dos outros 3. Estou correto?

Albert

Cometí um erro sim: o ponto R tem coordenadas R(-1, 0) e eu considerei R(0, -1).





M é o ponto médio de PQ ---> M(-3/2, 0)

CC' mediatriz dePQ

MR = xR - xM ---> MR = - 1 - (-3/2) ----> MR = 1/2

O desenho tem um erro ---> MP = MQ = CR = C'R = 7/2

CR² = CM² + MR² ---> (7/2)² = CM² + (1/2)² ----> CM = 2*\/6 ----> C'M = 2*\/6

Veja agora que a reta y = 2 não tem ponto em comum com os pontos C e C'

Logo, a interseção dos conjuntos A e B é um conjunto vazio

olá,

Elcioschin, você disse que cometeu o engano e corrigiu então

b) Ponto médio de PR: N(xN, yN)
xN = (xP + xR)/2 ---> xN = (-5 - 1)/2 ---> xN = -3 ---> yN = (0 + 0)/2 ---> yN = 0

Equação da mediatriz de PR é do tipo y=0 ----> x=-3

as duas mediatrizes nunca vão se encontrar no ponto C que havia determinado.

killua05

Na minha primeira solução, ao inverter (erradamente) a abcissa com a ordenada do ponto R, os três pontos NÃO ficariam alinhados. Neste caso, o ponto equidistante de P, Q e R seria o centro da circunferência circunscrita ao triângulo PQR.

Quando o Albert apontou meu erro, eu abandonei totalmente a solução e partí para outra solução, considerando os três pontos alinhados, conforme desenho que eu postei.

Nesta nova solução não há porque considerar o ponto médio N de PR.

Elcioschin

entendi, então o ponto C é equidistante de P, R e Q??

MP = MQ = CR = C'R = 7/2
CR² = CM² + MR² ---> (7/2)² = CM² + (1/2)² ----> CM = 2*\/6 ----> C'M = 2*\/6

CR² = CM² + MR² ↔ (7/2)² = CM² + (1/2)² ↔ 49/4 - 1/4 = CM² ↔ CM = 2*\/3

se eu usar CM para calcular o CP encontro um valor diferente de CR

desculpa se eu estou falando besteira.

Killua05

Você tem toda a razão: eu comparei medidas erradas. Comparei CR com MP e MQ

O que tem que acontecer é CR = CP = CQ.

Isto é impossível de acontecer porque CR (ou C'R) é uma ceviana do triângulo isóceles CPQ (ou C'PQ) relativa ao vértice C (ou C') e a ceviana é sempre menor do que os dois lados iguais.

Isto significa que o problema, para os três pontos colineares não tem solução.

Isto significa que xiste erro no enunciado.