Progressões

A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão arit mética de razão r é 50 e a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo termo inicial menor do que 10 e sabendo-se que q = r^2, podemos afirmar que a soma dos quatro primeiros termos da progressão geométrica será:
a)623/11
b)129/32
c)35/2
d)765/64
e)13

Spoiler:

Sejam:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 50 -> soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. de razão "r"

{b1, b2, b3, ............} -> P.G de infinitos termo de razão "q"

temos:

a1 = b1 (I)

........... b1
S = ----------
......... 1 - q

q = r²

de (I):
..........a1
S = -------- = 12 => a1= 12 - 12*r² (II)
....... 1 - r²

por (II) temos:


a1 = 12 - 12*r²

a2 = 12 - 12*r² + r

a3 = 12 - 12*r² + 2*r

a4 = 12 - 12*r² + 3*r

a5 = 12 - 12*r² + 4*r

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 50 -> 60 - 10*r - 60*r² = 50

60*r² - 10*r - 10 = 0

6*r² - r - 1 = 0 -> raízes: (1/2) ou ( - 1/3 ) não convém.

então:

q = r² => q = 1/4

logo:

b1 = 9

b2 = 9*(1/4)

b3 = 9*(1/4)^²

b4 = 9*(1/4)³

b1 + b2+ b3 + b4 = 765/64

valeu !