Divisores

Seja a um número real tal que a=3^m.4^n,com ambos naturais  .Se 25a possiu 60 divisores inteiros,calcule a?
r=48

leticialinda1234 escreveu:Seja a um número real tal que a=3^m.4^n,com ambos naturais  .Se 25a possui 60 divisores inteiros,calcule a?
r=48

Boa tarde, Letícia.

É preciso atentar para o fato que a quantidade de divisores inteiros, possui divisores tanto positivos quanto negativos!
Assim, a quantidade de divisores positivos deve ser igual a 60/2 = 30!

a = 3^m . 4^n
a = (2²)^n . 3^m
25.a = 2^2n . 3^m . 5^2

Número de divisores de 25a:
(2n+1)(m+1)(2+1) = 30
(2n+1)(m+1) = 30/3 = 10

10 é composto por 2*5 ou 5*2 ou 10*1 ou 1*10.
As duas últimas opções descartamos porque são inadequadas.

Das duas restantes, a primeira não serve, pois 2n+1 é ímpar e o 2 (de 2*5) é par.

Logo, fica:
2n + 1 = 5 → 2n = 5-1 → n = 2
m + 1 = 2 → m = 2-1 → m = 1

Finalmente:
a = 3^m . 4^n
a = 3^1 . 4^2
a = 3 . 16
a = 48



Um abraço.