(OBM) Divisores

por **luiseduardo** Qui 17 Dez 2009, 21:29

Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos ?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

por **ivomilton** Qui 17 Dez 2009, 21:42

luiseduardo escreveu:Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos ?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Boa noite!

15 = 3*5

Então, os números procurados poderão ser:

2^4 * 3^2 = 16*9 = 144
2^2 * 3^4 = 4*81 = 324
2^4 * 5^2 = 16*25 = 400
----------------------------------
2^2 * 5^4 = 4* 625 = 2500 (>500)
2^4 * 7^2 = 16*49 = 788 (>500)

Alternativa (D)

Um abraço.

por **luiseduardo** Qui 17 Dez 2009, 21:46

Gostei da sua resolução, Ivo. Mas existe uma forma de descobrir sem ficar "testando" os números como o 2 e 3 ?

por **ivomilton** Qui 17 Dez 2009, 22:52

luiseduardo escreveu:Gostei da sua resolução, Ivo. Mas existe uma forma de descobrir sem ficar "testando" os números como o 2 e 3 ?

Boa noite, amigo Luís.

Gostaria de conhecer outra maneira, caso haja, mas não vejo como.
Sendo 15 = 3*5, os expoentes dos fatores primos deverão ser 2 e 4, ou vice-versa.
Por outro lado, as bases dos fatores primos terão que seguir a sequência: 2, 3, 5, 7,....
Não consigo 'ver' como colocar isso numa fórmula matemática, de modo a que ela forneça os resultados solicitados.

Um abraço.