Divisores

QUESTÃO 154
_ 21_ENEM_MAT_RN_L4_Q14
Em um jogo da liga municipal de futsal de uma cidade
brasileira, um dos patrocinadores da competição fez o
sorteio de um combo da sua rede de restaurantes. Para
isso, utilizaram-se os números contidos nos ingressos de
cada um dos torcedores presentes no ginásio. No jogo em
questão, havia 100 torcedores nas arquibancadas, e os
ingressos vendidos estavam numerados com os inteiros de
1 a 100.
Dos ingressos vendidos, quantos têm um número com
exatamente três divisores positivos?
A 4
B 5
C 9
D 15
E 33
Gabarito : A

alguem me diz um jeito fazível na prova

São alguns quadrados perfeitos:

4 ---> 1, 2, 4
9 ---> 1, 3, 9
25 --> 1, 5, 25
49 --> 1, 7, 49

Note que estes não servem:

16 --> 1, 2, 4, 8, 16
36 --> 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
64 --> 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
81 --> 1, 3, 9, 27, 81

Algumas propriedades interessantes dos inteiros:

(I)Todo número inteiro é decomponível em forma de fatores primos.
(II)Todo número inteiro é divisível por 1.

Observe que se um número tem dois ou mais fatores primos distintos então ele tem pelo menos quatro divisores.
Suponha um número [latex]n [/latex] divisível por [latex]a [/latex] e [latex]b [/latex] dois primos distintos. Então [latex]n [/latex] é divisível por [latex]a, b, (a \cdot b) [/latex] e [latex]1 [/latex].

Assim [latex]n [/latex] não pode ter dois ou mais fatores primos. Tem que ser da forma [latex]n = p^a [/latex] ou [latex]n =1[/latex], com a sendo inteiro positivo e p um número primo.

Os únicos números que vão apresentar exatamente três divisores são os com expoente 2 .

[latex]n = p^2 [/latex]

Tenta descobrir o porque [latex]n =1[/latex] e os demais expoentes não servem.

[latex]1\leq p^2 \leq 100 \implies 1\leq p \leq 10[/latex]

[latex] p \in \{2,3,5,7\} \implies n \in \{2^2,3^2,5^2,7^2\}

Elcioschin escreveu:São alguns quadrados perfeitos:

4 ---> 1, 2, 4
9 ---> 1, 3, 9
25 --> 1, 5, 25
49 --> 1, 7, 49

Note que estes não servem:

16 --> 1, 2, 4, 8, 16
36 --> 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
64 --> 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
81 --> 1, 3, 9, 27, 81

oii mas o 33 não seria um tbm não?? seria 33, 11 e 1 ....

joaoZacharias escreveu:Algumas propriedades interessantes dos inteiros:

(I)Todo número inteiro é decomponível em forma de fatores primos.
(II)Todo número inteiro é divisível por 1.

Observe que se um número tem  dois ou mais fatores primos distintos então ele tem mais do que quatro divisores.
Suponha um número [latex]n [/latex] divisível por  [latex]a [/latex] e [latex]b [/latex]  dois primos distintos. Então  [latex]n [/latex] é divisível por [latex]a, b, (a \cdot b) [/latex]  e [latex]1 [/latex].

Assim [latex]n [/latex] não pode ter dois fatores primos. Tem que ser da forma [latex]n = p^a [/latex] ou [latex]n =1[/latex], com a sendo inteiro positivo.

Os únicos números que vão apresentar exatamente três divisores os com expoente 2 . Tenta descobrir o porque [latex]n =1[/latex] e os outros expoentes  não servem.

[latex]n = p^2 [/latex]

Como o intervalo é de 1 a 100, bastar testar os quadrados perfeitos de 1 a 10.

oii tudo bom?? não entendi... pq só testar os quadrados perfeitos de 1 a 10.


como disse acima, 33 n teria 3 divisores???

Os divisores de 33 são
1,3,11,33 
São 4

Gemma Galgani escreveu:

joaoZacharias escreveu:Algumas propriedades interessantes dos inteiros:

(I)Todo número inteiro é decomponível em forma de fatores primos.
(II)Todo número inteiro é divisível por 1.

Observe que se um número tem  dois ou mais fatores primos distintos então ele tem mais do que quatro divisores.
Suponha um número [latex]n [/latex] divisível por  [latex]a [/latex] e [latex]b [/latex]  dois primos distintos. Então  [latex]n [/latex] é divisível por [latex]a, b, (a \cdot b) [/latex]  e [latex]1 [/latex].

Assim [latex]n [/latex] não pode ter dois fatores primos. Tem que ser da forma [latex]n = p^a [/latex] ou [latex]n =1[/latex], com a sendo inteiro positivo.

Os únicos números que vão apresentar exatamente três divisores os com expoente 2 . Tenta descobrir o porque [latex]n =1[/latex] e os outros expoentes  não servem.

[latex]n = p^2 [/latex]

Como o intervalo é de 1 a 100, bastar testar os quadrados perfeitos de 1 a 10.

oii tudo bom?? não entendi... pq só testar os quadrados perfeitos de 1 a 10.


como disse acima, 33 n teria 3 divisores???

Oi Gemma Galgani, havia uma inconsistência na minha solução com respeito ao seguinte "Como o intervalo é de 1 a 100, bastar testar os quadrados perfeitos de 1 a 10". Já fiz os devidos acertos.
Agora quanto ao número 33 é como o nathanvasoncelos958 disse, são quatro divisores.

Gemma

Conforme o colega joaoZacharias explicou:

Notem que nos 4 casos:  o 1º divisor é 1, o 2º divisor é um primo (2, 3, 5, 7) e o 3º divisor é o mesmo primo ao quadrado:

4 ---> 1, 2, 4
9 ---> 1, 3, 9
25 --> 1, 5, 25
49 --> 1, 7, 49

O próximo será 1, 11, 121 mas não serve, pois supera 100

E o próprio 100 não serve: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100