divisores

O número natural N = 180.p, onde p é um número primo, possui 27 divisores naturais. O valor 
de p é:

me explica ai porque o valor é cinco nao entendo

Olá.

N = 180 * p

180 | 2
  90 | 2
  45 | 3
  15 | 3
   5  | 5
   1  --> 2² * 3² * 5

O número de divisores naturais de um número é dado pela multiplicação dos expoentes adicionados de um da sua decomposição em fatores primos, além disso, 27 = 3³ = (2+1) * (2+1) * (2+1), logo:

Logo, comparando:

(2+1) * (2+1) * p = (2+1) * (2+1) * (2+1) --> p = (2+1) --> p = 5

Para conferir:

N = 180*5 .:. N = 900

900 | 2
450 | 2
225 | 3
  75 | 3
  25 | 5
    5 | 5
     1  --> 2² * 3² * 5² --> (2+1)*(2+1)*(2+1) = 27

Sugiro que procure "Número de divisores de um número natural"

Att.,
Pedro

lipoitvit escreveu:O número natural N = 180.p, onde p é um número primo, possui 27 divisores naturais. O valor 
de p é:

me explica ai porque o valor é cinco nao entendo

Boa tarde,

27 = 3 x 3 x 3

A quantidade de divisores de um número é dada por:
(exp.x + 1)*(exp.y + 1)*(exp.z + 1)

Logo, para que N tenha 27 divisores, deveremos ter:
(exp.x + 1)*(exp.y + 1)*(exp.z + 1) = 27
3 * 3 * 3 = 27

exp.x + 1 = 3 → exp.x = 3-1 = 2
exp.y + 1 = 3 → exp.y = 3-1 = 2
exp.z + 1 = 3 → exp.z = 3-1 = 2

Ora,
180 = 2² * 3² * 5

N = 180.p = 2² * 3² * 5 * p

Observando-se os expoentes acima calculados, chega-se à conclusão que:
N = 2² * 3² * 5²
N = 2² * 3² * 5 * 5 (donde se deduz ser p=5)

Espero tenha conseguido esclarecer o amigo.



Um abraço.

Excelente didática, como sempre, Ivo.

PedroCunha escreveu:Excelente didática, como sempre, Ivo.

Olá, Pedro, obrigado pelo comentário.
Mas, como dizem as Escrituras, "o homem não pode receber coisa alguma se do céu não lhe for dada." - João 3:27.
Assim, toda gratidão e todo louvor ao Senhor Jesus, Rei dos Reis e Senhor dos Senhores!
Forte abraço, amigo!

valeu galera, grande ajuda