Geometria II

ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC e altura AH. Seja P um ponto do mesmo semiplano de A em relação à reta suporte BC. Os ângulos HPC e ABC são iguais a 15°. Se o segmento PH é o maior possível, pode-se afirmar que PH é igual a:
a)AC
b)AB
c)BC/2
d)HC/2
e)AH

Obrigado mestre, o sr. afirmou que a interseção de PH com AC seria o ponto médio de ambos porque os triângulos PHC e AHC são idênticos, correto?

NEGATIVO, não afirmei isso. Isso que você cita acontece mas não foi este o caminho (raciocínio) para a resolução.

O enunciado nos dá um triângulo retângulo com sua altura AH e o ângulo ^B=15°; e pede um ponto P tal que H^PC também seja de 15°.

De início notei que os ângulos ^B e H^AC são congruentes e, a partir daqui, passei a procurar onde colocar o ponto P de forma que o ângulo H^PC fosse congruente ao H^AC. Os locais onde se pode colocar P de modo a atender essa solicitação é o arco capaz que vê o segmento HC -- ou seja, H^AC é inscrito e H^PC deve ser inscrito no mesmo arco.

Este arco pertence à circunferência que passa por A, H e C. Como o triângulo AHC é retângulo de hipotenusa AC, o centro desta circunferência está no ponto médio da hipotenusa (M). Então achamos o lugar geométrico de todos os possíveis pontos P. E o maior segmento PH possível, conforme solicitado, que está contido nesse arco capaz, é o próprio diâmetro da circunferência; por isto, PH deve passar por M.

Entendi mestre, obrigado pela atenção