Inequação trigonométrica

por Wesley Macedo 15/6/2015, 8:27 pm

Encontre todos os valores de X que satisfazem a desigualdade dada:

Sen X < 1/2.

Eu encontrei 2k∏ <= x < ∏/6 + 2k∏ OU 5∏/6 + 2k∏ < x <= 2∏ + 2k∏, porém meu livro apresenta a resposta - 7∏/6 + 2k∏ < X < ∏/6 + 2k∏, com K pertencente aos inteiros.

Como eu chego a essa solução?

Desde já, obrigado.

por **Carlos Adir** 15/6/2015, 8:43 pm

Os que satisfazem são todos os contidos na área.
Os valores do seno sempre serão menores que 1/2 = 0,5.
Perceba que entre 0 e pi/6 são soluções. Depois disso, vai desde o 5pi/6 até 2pi. Depois do 2pi, temos de 2pi até 2pi +(pi/6).
E assim por diante.
Podemos chegar à solução:
$\mathrm{S: }\begin{cases}\mathrm{2k\pi \le x < 2k\pi + \frac{\pi}{6}} \\ \mathrm{2k\pi +\dfrac{5\pi}{6}< x \le 2(k+1)\pi} \end{cases}$
De maneira geral, seria:
$\mathrm{S: 2k\pi + \dfrac{5\pi}{6} <x < 2(k+1)\pi+\dfrac{\pi}{6}}$

por Wesley Macedo 15/6/2015, 10:30 pm

Obrigado Carlos, eu já tinha entendido essa demonstração; gostaria apenas de saber como chegar na resposta do livro. De qualquer forma muito obrigado!

por **Carlos Adir** 15/6/2015, 10:54 pm

A resposta é a mesma. O livro apenas aborda como o início o arco de 7pi/6.
Se você for andar 7pi/6 radianos no sentido horário(por isso o negativo), você terá a resposta.

Mas apartir da resposta acima, podemos descobrir também.
Lembrando que somar ou subtrair 2pi não altera o valor:
$\\ \mathrm{S: \ 2k\pi + \dfrac{5\pi}{6} < x < 2(k+1)\pi + \dfrac{\pi}{6}} \\ \mathrm{2k\pi + \dfrac{5\pi}{6} - 2 \pi < x-2\pi< 2k\pi + \dfrac{\pi}{6}} \\ \mathrm{\dfrac{-7 \pi}{6}+ 2k \pi < x < \dfrac{\pi}{6}+2k \pi; \ \ \ k \in \mathbb{Z}}$

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