Trigonometria-Arco Soma e suas Consequências
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Trigonometria-Arco Soma e suas Consequências
por REBECCA FREITAS Qui 11 Jun 2015, 11:01
Sejam α e β números reais tais que senα+senβ=√2/2 e cosα+cosβ=√6/2, o valor de sen(α+β) é igual a:
A)1/2
B)√2/2
C)√3/2
D)√6/2
E)1
Alguém poderia me ajudar com essa questão?
Desde já agradeço.
A)1/2
B)√2/2
C)√3/2
D)√6/2
E)1
Alguém poderia me ajudar com essa questão?
Desde já agradeço.
REBECCA FREITAS- Iniciante
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Re: Trigonometria-Arco Soma e suas Consequências
por Carlos Adir Qui 11 Jun 2015, 19:32
Questão chatinha.
Infelizmente não tenho uma resposta curta, talvez alguém tenha. Enquanto isso:
^2+(S_2)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}&space;\right&space;)^2+\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}&space;\right&space;)^2}&space;\\&space;\mathrm{2&space;\left(1+{\color{Red}&space;cos&space;\&space;a&space;\cdot&space;cos&space;\&space;b&space;+&space;sen&space;\&space;a&space;\cdot&space;sen&space;\&space;b}&space;\right&space;)=2}&space;\\&space;\mathrm{{\color{Red}&space;cos&space;\left(a-b&space;\right&space;)}=0&space;\Leftrightarrow&space;a&space;=&space;b&space;+&space;\dfrac{\pi}{2}} "\\ \mathrm{S_1=sen \ a + sen \ b = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ \mathrm{S_2=cos \ a + cos \ b = \dfrac{\sqrt{6}}{2}} \\ \mathrm{(S_1)^2+(S_2)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2+\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right )^2} \\ \mathrm{2 \left(1+{\color{Red} cos \ a \cdot cos \ b + sen \ a \cdot sen \ b} \right )=2} \\ \mathrm{{\color{Red} cos \left(a-b \right )}=0 \Leftrightarrow a = b + \dfrac{\pi}{2}}")
}&space;\\&space;\mathrm{\Rightarrow&space;S_1=\sqrt{2}&space;\cdot&space;sen&space;\left(a+\dfrac{\pi}{2}&space;\right&space;)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}&space;\\&space;\mathrm{sen&space;\&space;\left(a+\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)=\dfrac{1}{2}&space;\Leftrightarrow&space;cos&space;\left(a+\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}} "\\ \mathrm{Se \ a=b + \dfrac{\pi}{2}, \ tem-se \ que:} \\ \mathrm{sen \ a = cos \ b} \\ \mathrm{cos \ a = sen \ b} \\ \mathrm{E \ ent\~ao \ S_1 = sen \ a + cos \ a} \\ \mathrm{Algo \ que \ pode \ nos \ tirar \ disto \ \'e:} \\ \mathrm{sen \ a + cos \ a = \sqrt{2} \cdot sen \left(a + \dfrac{\pi}{4} \right )} \\ \mathrm{\Rightarrow S_1=\sqrt{2} \cdot sen \left(a+\dfrac{\pi}{2} \right )=\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ \mathrm{sen \ \left(a+\dfrac{\pi}{4} \right )=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow cos \left(a+\dfrac{\pi}{4} \right )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}")
=sen&space;\left(&space;2a&space;-&space;\dfrac{\pi}{2}&space;\right&space;)=-sen&space;\left(2a+\dfrac{\pi}{2}&space;\right&space;)} "\\ \mathrm{S_3=sen \left(a+b \right )=sen \left( 2a - \dfrac{\pi}{2} \right )=-sen \left(2a+\dfrac{\pi}{2} \right )}")
=sen&space;\left[2\left(a+\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)&space;\right&space;]=2&space;\cdot&space;sen&space;\left(a+\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)\cdot&space;cos\left(a+\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)}&space;\\&space;\mathrm{\therefore&space;S_3=sen\left(&space;2a+\dfrac{\pi}{2}&space;\right&space;)=2&space;\cdot&space;\dfrac{1}{2}&space;\cdot&space;\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}} "\\ \mathrm{sen \left(2a+\dfrac{\pi}{2} \right )=sen \left[2\left(a+\dfrac{\pi}{4} \right ) \right ]=2 \cdot sen \left(a+\dfrac{\pi}{4} \right )\cdot cos\left(a+\dfrac{\pi}{4} \right )} \\ \mathrm{\therefore S_3=sen\left( 2a+\dfrac{\pi}{2} \right )=2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}")
Minha resposta não está tão técnica, por exemplo, considerei que sen(a+pi/4)=1/2 e então cos(a+pi/4)=(√3)/2, mas poderia ser por exemplo -(√3)/2.
Além de que a=b+(pi/2)+kpi, k∈ℤ. Este fato omiti.
Se fosse prova discursiva, deveriamos nos atentar a estes detalhes. Mas como a questão nos deu alternativas(todas positivas por sinal), então acabamos por reduzir.
Uma outra resolução abaixo:
^2&space;=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-sen&space;\&space;b&space;\right&space;)^2}&space;\\&space;\mathrm{K_2=\left(cos&space;\&space;a&space;\right&space;)^2=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}-cos&space;\&space;b&space;\right&space;)^2}&space;\\&space;\mathrm{K_1+K_2=1=&space;\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-sen&space;\&space;b&space;\right&space;)^2&space;+\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}-cos&space;\&space;b&space;\right&space;)^2}&space;\\&space;\mathrm{\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}&space;\cdot&space;sen&space;\&space;b+sen^2&space;\&space;b&space;+&space;\dfrac{3}{2}-\sqrt{6}&space;\cdot&space;cos&space;\&space;b&space;+&space;cos^2&space;\&space;b=1}&space;\\&space;\mathrm{\Rightarrow&space;sen&space;\&space;b&space;+&space;\sqrt{3}&space;\cdot&space;cos&space;\&space;b&space;=&space;\sqrt{2}} "\\ \mathrm{K_1=(sen \ a)^2 =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-sen \ b \right )^2} \\ \mathrm{K_2=\left(cos \ a \right )^2=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}-cos \ b \right )^2} \\ \mathrm{K_1+K_2=1= \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-sen \ b \right )^2 +\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}-cos \ b \right )^2} \\ \mathrm{\dfrac{1}{2}-\sqrt{2} \cdot sen \ b+sen^2 \ b + \dfrac{3}{2}-\sqrt{6} \cdot cos \ b + cos^2 \ b=1} \\ \mathrm{\Rightarrow sen \ b + \sqrt{3} \cdot cos \ b = \sqrt{2}}")
Saindo disto obtemos o valor do b, do cosseno e do seno. Apartir disto, jogando em K_1 e K_2 obtemos os valores dos seno e cosseno de a.
E pela relação, sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a, acabamos por descobrir.
Este método é mais longo e utiliza muitas contas, fatorações.
Acho que tem uma parte que não está bem explicada, mas é melhor colocar como adicional, que interferir na estrutura toda:
=}&space;\\&space;\mathrm{=\sqrt{2}&space;\left(cos&space;\&space;\dfrac{\pi}{4}&space;\cdot&space;sen&space;\&space;a&space;+&space;sen&space;\&space;\dfrac{\pi}{4}&space;\cdot&space;cos&space;\&space;a&space;\right&space;)=}&space;\\&space;\mathrm{=\sqrt{2}&space;\cdot&space;sen&space;\left(a&space;+&space;\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)}&space;\\&space;\boxed{\mathrm{\therefore&space;sen&space;\&space;a&space;+&space;cos&space;\&space;a&space;=&space;\sqrt{2}&space;\cdot&space;sen&space;\left(a+\dfrac{\pi}{4}&space;\right&space;)}} "\\ \mathrm{sen \ a + cos \ a = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen \ a + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos \ a \right )=} \\ \mathrm{=\sqrt{2} \left(cos \ \dfrac{\pi}{4} \cdot sen \ a + sen \ \dfrac{\pi}{4} \cdot cos \ a \right )=} \\ \mathrm{=\sqrt{2} \cdot sen \left(a + \dfrac{\pi}{4} \right )} \\ \boxed{\mathrm{\therefore sen \ a + cos \ a = \sqrt{2} \cdot sen \left(a+\dfrac{\pi}{4} \right )}}")
Infelizmente não tenho uma resposta curta, talvez alguém tenha. Enquanto isso:
Minha resposta não está tão técnica, por exemplo, considerei que sen(a+pi/4)=1/2 e então cos(a+pi/4)=(√3)/2, mas poderia ser por exemplo -(√3)/2.
Além de que a=b+(pi/2)+kpi, k∈ℤ. Este fato omiti.
Se fosse prova discursiva, deveriamos nos atentar a estes detalhes. Mas como a questão nos deu alternativas(todas positivas por sinal), então acabamos por reduzir.
Uma outra resolução abaixo:
Saindo disto obtemos o valor do b, do cosseno e do seno. Apartir disto, jogando em K_1 e K_2 obtemos os valores dos seno e cosseno de a.
E pela relação, sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a, acabamos por descobrir.
Este método é mais longo e utiliza muitas contas, fatorações.
Acho que tem uma parte que não está bem explicada, mas é melhor colocar como adicional, que interferir na estrutura toda:
____________________________________________
← → ↛ 
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
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