trigonometria

por leticialinda1234 Qua 10 Jun 2015, 17:30

a)expresse Sen3a em função de sena

b)resolva a inequação sen3a>2 sena,para 0
tenho duvida somente no item b,por favor queria que explicasse como fazer a solução detalhadamente

por **Carlos Adir** Qua 10 Jun 2015, 18:54

a)
$\\ \mathrm{sen \ 3a = sen \ 2a \cdot cos \ a + cos \ 2a \cdot sen \ a} \\ \mathrm{sen \ 3a = 2 sen \ a \cdot cos^2 \ a + (cos^2 \ a - sen^2 \ a) \cdot sen \ a} \\ \mathrm{sen \ 3a = 2 sen \ a (1-sen^2 \ a)+[(1-sen^2 \ a) - sen^2 \ a] \cdot sen \ a} \\ \mathrm{sen \ 3a = sen \ a \left(3 - 4 sen^2 \ a \right )}$

b)
$\\ \mathrm{sen \ 3a > 2 sen \ a} \\ \mathrm{sen \ a \left(3 - 4 sen^2 \ a \right ) > 2 sen \ a} \\ \mathrm{sen \ a \left(3-4sen^2 a - 2 \right )>0} \\ \mathrm{sen \ a \left(1 - 4 sen^2 \ a \right ) > 0}$
Agora, podemos perceber que sen a > 0 se a ∈ ]0, π[, e sen a < 0 se a ∈ ]π, 2π[

Assim, como queremos o intervalo seja maior que zero, então é necessário que ambos tenham o mesmo sinal(ambos positivos ou ambos negativos).
Vamos analisar quando ambos são positivos:
$\\ \mathrm{sen \ a > 0 \Leftrightarrow a \in ]0, \ \pi[} \\ \mathrm{1- 4 sen^2 \ a > 0 \Leftrightarrow a \in \left]-\dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{\pi}{6}\right[ \cup \left] \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7 \pi}{6} \right [} \\ \mathrm{sen \ a \left(1-4sen^2 a \right )>0 \Leftrightarrow a \in \left]0, \ \dfrac{\pi}{6} \right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}{6}, \ \pi \right [}$
trigonometria 4cQK7r6

Agora quando ambos são negativos:
$\\ \mathrm{sen \ a <0 \Leftrightarrow a \in \left]\pi, \ 2 \pi \right[} \\ \mathrm{1 - 4 sen^2 \ a < 0 \Leftrightarrow a \in \left]\dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6} \right[ \cup \left]\dfrac{7 \pi}{6}, \ \dfrac{11 \pi}{6} \right[}$
$\\ \mathrm{sen \ a \left(1-4sen^2 a \right )>0 \Leftrightarrow a \in \left]\dfrac{7 \pi}{6}, \ \dfrac{11\pi}{6} \right[}$
trigonometria 4FiSGnb

Logo, juntando tudo obtemos os intervalos:
$\\ \mathrm{sen \ a \left(1-4sen^2 a \right )>0 \Leftrightarrow a \in \left]0, \ \dfrac{\pi}{6} \right [\cup \left] \dfrac{5\pi}{6}, \ \pi \right[ \cup \left]\dfrac{7 \pi}{6}, \ \dfrac{11\pi}{6} \right[}$
trigonometria 5NKJQB0

E obtemos a resposta.

por leticialinda1234 Qua 10 Jun 2015, 19:48

entendi,mto obrigada!!

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