Sistemas lineares

Considere o sistema linear 
ax + 2y = 4
x – y = b

sendo a e b constantes reais e as seguintes declarações:
I. Se a = –2 e b = 0, o sistema possui infinitas soluções.
II. Se a = 1, o sistema não possui solução qualquer que
seja b.
III. Se b ≠ –2, o sistema possui solução qualquer que seja a.
Assinale:
(A) se todas estiverem incorretas.
(B) se somente I e II estiverem incorretas.
(C) se somente I e III estiverem incorretas.
(D) se somente II e III estiverem incorretas.
(E) se somente I estiver incorreta.

Gabarito A

Olá

A matriz 

a    2
1   -1

é a matriz dos coeficientes deste sistema linear. Para analisar o que ocorre com o sistema, basta ver o que acontece com o determinante desta matriz. Se for nulo, o sistema poderá ser impossível ou ter infinitas soluções. Caso o determinante seja diferente de zero, o sistema terá uma única solução.

Então:

-a -2 = 0 ↔  a + 2 = 0 ↔ a = -2.

Logo, se a = -2, o determinante é nulo e o sistema será impossível ou terá infinitas soluções. O sistema ficaria assim:

-2x + 2y = 4
x - y = b

Que é equivalente ao sistema

x - y = -2
x - y = b

Ou seja, chegamos que b = -2 = a
Logo, tal sistema reduz-se à única equação: x - y = -2

Isolando o x: x = y - 2

Portanto, a solução seria: S={y-2, y}.
Isto é, infinitas soluções.

Agora, se a ≠ -2, o sistema teria uma única solução (Possível e Determinado).

Desse modo, nenhuma das opções (I, II, III) do enunciado satisfazem os resultados acima. 

Portanto, gabarito (A).

Até!

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