Equação Logarítimica

por Felipecrf Sáb 02 Out 2010, 19:16

Relembrando a primeira mensagem :

(MACKENZIE)

Se

$log_2_a(\sqrt{5})+log_3_a\sqrt{5}=\frac{5}{12}$

então o valor de a é :

Resposta :

Spoiler:

por **luiseduardo** Dom 03 Out 2010, 17:44

O gabarito não confere:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%282a%2Csqrt%285%29%29+%2B+log%283a%2Csqrt%285%29%29+%3D+5%2F12

por **Euclides** Dom 03 Out 2010, 17:47

Acho que a questão correta era

$\100dpi \log_{a^2}\sqrt{5}+\log_{a^3}\sqrt{5}=\frac{5}{12}$

cuja solução é, de fato, $\100dpi a=5$

por **Euclides** Dom 03 Out 2010, 18:00

$\100dpi \log_{a^2}5^{\frac{1}{2}}+\log_{a^3}5^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{12}$

uma análise antes de prosseguir:

$\100dpi \\\log_{a^2}5^{\frac{1}{2}}=x\to a^{2x}=5^{\frac{1}2{}}\hspace{30}\log_{a^3}5^{\frac{1}{2}}=y\to a^{3y}=5^{\frac{1}{2}}\\\\a^{3y}=a^{2x}\to 3y=2x\to y=\frac{2x}{3}\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\log_{a^3}5^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\log_{a^2}5^{\frac{1}{2}} \\\\\log_{a^2}5^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}\log_{a^2}5^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{12}\to {\color{red} \frac{5}{3}\log_{a^2}5^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{12}}$

$\100dpi \\ \log_{a^2}5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\,\,\,\to\,\,\,5^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{4}}\,\,\,\,\to\,\,\,\,\fbox{a=5}$

por Felipecrf Dom 03 Out 2010, 18:16

Euclides escreveu:Acho que a questão correta era

$\100dpi \log_{a^2}\sqrt{5}+\log_{a^3}\sqrt{5}=\frac{5}{12}$

cuja solução é, de fato, $\100dpi a=5$

Ahh sim , de fato, me confudi ao digitar a questão no Latex ...

Desculpas pela falta de atenção , e obrigado pela resolução.

por Diogo Dom 03 Out 2010, 18:34

Euclides muito interessante a sua resolução.
Consegui resolver por mudança de base, vou postar esse outro modo também:

$log_(_a_^_2_)\sqrt{5}+log_(_a_^_3_)\sqrt{5}=5/12$

$log_a\sqrt{5}/log_aa^2+log_a\sqrt{5}/log_aa^3=5/12$

$(log_a\sqrt{5})/2+(log_a\sqrt{5})/3=5/12$

$3log_a\sqrt{5}+2log_a\sqrt{5}=5/2$

$5log_a\sqrt{5}=5/2\rightarrow log_a\5^1^/^2=1/2\rightarrow \mathbf{a=5}$