Integral do módulo de x.

por Marcelhita Qui 28 maio 2015, 18:25

Pessoal, estava aqui estudando cálculo e surgiram alguns exercícios que não estou conseguindo calcular as integrais envolvendo módulo.

Alguém pode me ajudar a resolver essas três integrais? Quais os passos para resolver esse tipo de integral? Procurei no thomas e continuei sem entender nada :bounce:

Considerando que a>0, calcule:

a)
\int_{0}^{a}\frac{-e^{-iwx}\left | x \right |}{a}dx

b) \int_{d}^{b}e^{-ax-iwx}sen(cx)dx

c) \int_{-\infty }^{\infty}e^{-a\left | x \right |}dx

por **mauk03** Sex 29 maio 2015, 12:13

Quando envolver |x| na integral vc deve separar a integral em duas, nos quais uma possui limitantes para os quais x é positivo e outra possui limitantes para os quais x é negativo.
$|x|=\left\{\begin{matrix} x,x\geq 0\\ -x,x< 0 \end{matrix}\right.$

Assim:
a) $\int_{0}^{a}\frac{-e^{iwx}|x|}{a}dx=-\frac{1}{a}\int_{0}^{a}e^{iwx}xdx$ (pois a>0 e x>0 no intervalo de 0 à a)
Agora é só resolver essa integral por partes, fazendo u=x e dv=e^(iwx)dx

b) Essa é uma integral cíclica, que pode ser resolvida de forma análoga ao desse exemplo:
http://www.ditutor.com/metodos/integrales_ciclicas.html

c) $\int_{-\infty }^{\infty }e^{-a|x|}dx=\int_{-\infty }^{0}e^{-a(-x)}dx+\int_{0}^{\infty }e^{-ax}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty }\left (\int_{t}^{0}e^{ax}dx \right )+\lim_{t\rightarrow \infty }\left (\int_{0}^{t}e^{-ax}dx \right )$