Dúvida em derivada

Boa noite prezados usuários do Pir²!

Obter a derivada da função

Exponho abaixo o modo que estou resolvendo, mas não encontro a resposta do gabarito. Gostaria que me ajudasse a resolver.

u = a
v = bx <---> y = u . sen v

u' = 1

v' = x

F'(x) = y' = cos b

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Pietro di Bernadone escreveu:Boa noite prezados usuários do Pir²!

Obter a derivada da função

Exponho abaixo o modo que estou resolvendo, mas não encontro a resposta do gabarito. Gostaria que me ajudasse a resolver.

u = a
v = bx <---> y = u . sen v

u' = 1

v' = x

F'(x) = y' = cos b

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Derivada do produto:

F'(x)=a'sen(bx)+a[sen(bx)]'

a'=0
Agora vamos derivar sen(bx)

u=senx ------------------------- y=bx

D[uoy]=cos(bx).b

Então derivada de sen(bx) é: b.cos(bx)

Logo:
F'(x)=ab.cos(bx)
Eu adoro essa matéria pode colocar milhões de questões dessa se precisar
Qualquer dúvida tamo ai

Boa noite Balanar!

Balanar, vou comentar quais são minhas dúvidas. Esteja atento à elas:

1°) Repare que minha derivada de u é igual a zero (u' = 0). Em sua resolução aparece que é igual a 1. Por que isso acontece?

2°) Também não consegui entender como foi calculada a derivada de sen (bx). Repare que quando derivei encontrei sen b. Onde está o erro?

Por favor, detalhe o máximo possível da resolução. Comecei a estudar essa matéria a pouco tempo e ainda tenho muita dificuldade.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Pietro di Bernadone escreveu:Boa noite Balanar!

Balanar, vou comentar quais são minhas dúvidas. Esteja atento à elas:

1°) Repare que minha derivada de u é igual a zero (u' = 0). Em sua resolução aparece que é igual a 1. Por que isso acontece?

2°) Também não consegui entender como foi calculada a derivada de sen (bx). Repare que quando derivei encontrei sen b. Onde está o erro?

Por favor, detalhe o máximo possível da resolução. Comecei a estudar essa matéria a pouco tempo e ainda tenho muita dificuldade.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Vamos desde o começo então:

A função a ser derivada é:

F(x)=asen(bx)

Temos um produto de uma constante "a" por sen(bx), aplicando a regra da derivada do produto temos:

F'(x)=a'.sen(bx)+a[sen(bx)]'

A derivada de uma constante é zero então:

F'(x)=a[sen(bx)]'

Agora a função que temos que derivar é:
sen(bx)

Pode ser qualquer letra não precisa ser u e v

Então vamos deixar essa função com a cara de uma função que tenha uma derivada tabelada, então:

w=senx----------z=bx

Então derivar sen(bx) é a mesma coisa que derivar a função composta de w e z que é woz=sen(bx)

Para derivar uma função composta fazemos assim:

Primeiro derivarmos o ''w'' cuja derivada dá cosx e no lugar do argumento do cosx que é ''x'' colocamos a função z que é ''bx''.

Que dá:
cos(bx)
E depois multiplicamos pela derivada de ''z'' que no nosso caso é ''b''

Então
cos(bx)b
Logo a derivada da função composta de woz é bcos(bx) ou numa notação melhor D[woz]=bcos(bx)

Pronto calculamos a derivada de sen(bx)
Lembrando que:
F'(x)=a[sen(bx)]'

Como [sen(bx)]'=bcos(bx)

Logo temos:
F'(x)=abcos(bx)

Caso não tenha entendido, pode perguntar a vontade.