Taxa de variação

por **Fito42** Qua 06 maio 2015, 20:33

Num determinado instante e está variando, neste instante, a uma taxa de radianos por segundo(veja figura). A que taxa estará variando o ângulo neste instante ?

Estou sem gabarito, então ficaria grato se avaliassem minha resolução:
-> Seja b o lado desconhecido do triângulo. Podemos encontrá-lo usando a lei dos cossenos quando :
b² = 29 - 20*cos(60º)
b = sqrt{19}

->Aplicando novamente a lei dos cossenos para encontrarmos o valor de cosα:

5² = 2² + sqrt{19}² - 4sqrt{19}cosα
cosα = -1/2sqrt{19}

-> Aplicando a lei dos senos:
5 / sinα = b / sinθ
b*sinα = 5*sinθ (i)

-> Derivando i em dt e considerando "b" constante:
b(dsinα/dt) = 5(dsinθ/dt)
b*cosα * dα/dt = 5*cosθ*dθ/dt

b = sqrt{19}
cosα =-1/2sqrt{19}

cosθ = 0,5

dθ/dt = 0,01

Subs. encontramos que dα/dt = -0,05 rad/s

por **Fito42** Qui 07 maio 2015, 20:42

por **Carlos Adir** Qui 07 maio 2015, 22:09

Corrigido:

$\\ \mathrm{Temos \ pela \ lei \ dos \ cossenos:} \\ \begin{cases}b^2=5^2+2^2-2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot cos \ \theta \\ \mathrm{5^2 = 2^2 + b^2 - 2\cdot b \cdot 2 \cdot cos \ \alpha}\end{cases} \Rightarrow \mathrm{\alpha = \arccos\left[\dfrac{2-5cos \alpha}{\sqrt{29-20 \cdot cos \ \theta}} \right ]} \\ \mathrm{Derivando \ obtemos:} \\ \mathrm{\dfrac{\partial \alpha}{\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial t} \arccos\left[\dfrac{2-5\cos \theta}{\sqrt{29-20 \cos \theta}} \right ]} \\ \mathrm{\dfrac{\partial \alpha}{\partial t}=\dfrac{-\left[\dfrac{(5\ sen \ \theta )(\sqrt{29-20\cos \theta})-(2-5\cos \theta)\left(\dfrac{20\ sen \ \theta}{2\sqrt{29-20\cos \theta}} \right )}{\left(\sqrt{29-20\cos \theta} \right )^2} \right ]}{\sqrt{1-\left(\dfrac{2-5\cos \theta}{\sqrt{29-20\cos\theta}} \right )^2}} \cdot \dfrac{\partial \theta}{\partial t}}$
$\boxed{\mathrm{\dfrac{\partial \alpha}{\partial t}=\dfrac{sen \ \theta}{|sen \ \theta|} \cdot \dfrac{-25+10 \cos \theta}{29-20 \cos \theta} \cdot \dfrac{\partial \theta}{\partial t}}}$

Como queremos quando theta=pi/3, temos:
$\\ \mathrm{\dfrac{\partial \alpha}{\partial t}\left(\dfrac{\pi}{3} \right )=\dfrac{sen \ \frac{\pi}{3}}{|sen \ \frac{\pi}{3}|} \cdot \dfrac{-25+10 \cos \frac{\pi}{3}}{29-20 \cos \frac{\pi}{3}} \cdot 0,01 \ \dfrac{rad}{s}} \\ \mathrm{\dfrac{\partial \alpha}{\partial t}\left(\dfrac{\pi}{3} \right )=\dfrac{-3}{380} \approx -0,008 \ \dfrac{rad}{s}}$

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