Equações irracionais

por Carlos Naval Qua 06 maio 2015, 10:43

CN) Se x é um número inteiro tal que Equações irracionais <a href=

$Equações irracionais Gif$ o número de elementos do conjunto solução dessa inequação é igual a:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

GABARITO: C

Desde já agradeço!

por **Carlos Adir** Qua 06 maio 2015, 10:57

Primeiramente podemos ver que x<-1 está fora de cogitação, pois raiz é sempre positiva, e se x<-1, temos que x+1<0. O que é um absurdo.

Agora devemos ver uma condição de existência:
O valor dentro da raiz deve ser positivo, logo:
$2x^2+3x-5 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(2x+5) \ge 0$
Agora é só questão de conjunto:
$(x-1)(2x+5) \ge 0 \Rightarrow \begin{cases}x \ge 1 \\ x \le \dfrac{-5}{2} \end{cases} \Rightarrow x \ge 1$

Portanto, ambos são positivos. Elevamos ao quadrado:
$\\ 2x^2+3x-5 \le (x+1)^2 \\ x^2+x-6 \le 0 \\ (x+3)(x-2) \le 0 \\ \Rightarrow 2 \le x \le 3$

Assim, o conjunto solução é tal que deve satisfazer as três condições:
$\begin{cases}x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ 2 \le x \le 3 \end{cases} \Rightarrow 2 \le x \le 3$

Portanto, temos somente 2 e 3 no intervalo dado. Logo, 2 numeros são soluções:

Letra C)

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