Soma dos lados!

por Lucas Frazão Seg 04 maio 2015, 23:29

(FFCLUSP-66) na figura ao lado,os angulos OÂiBi e O^Bi+Ai,i=0,1,2,3,... são retos.Quanto vale a soma dos segmentos A0B0,A1B1,A2B2,... em função de A0B0 e de teta?

Soma dos lados! OnEFZq

por **Elcioschin** Ter 05 maio 2015, 22:22

Vou começar

Seja AoBo = Ho, A1B1 = H1, A2B2 = H2, ..... etc

No triângulo AoB1Bo ---> cosθ = AoB1/AoBo ---> cosθ = AoB1/Ho ---> AoB1 = Ho.cos θ

No triângulo B1A1Ao ---> cosθ = A1B1/AoB1 ---> cosθ = A1B1/Ho.cosθ ---> A1B1 = Ho.cos²θ

Fazendo o mesmo para os triângulos A1B2B1 e B2A2A1 conclui-se que A2B2 = Ho.cos⁴θ

Continue e a soma será: Ho.cos² θ + Ho.cos⁴θ + Ho.cos⁶θ^{+ .....}

Note que se chega numa PG infinita decrescente de razão q = cos²θ ---> Calcule a soma

por Lucas Frazão Qua 06 maio 2015, 20:10

Muito obrigado Elcioschin,não tinha notado essa relação que leva a uma PG Very Happy

por Luciano Augusto Sex 15 maio 2020, 15:30

Elcioschin escreveu:Vou começar

Seja AoBo = Ho, A1B1 = H1, A2B2 = H2, ..... etc

No triângulo AoB1Bo ---> cosθ = AoB1/AoBo ---> cosθ = AoB1/Ho ---> AoB1 = Ho.cos θ

No triângulo B1A1Ao ---> cosθ = A1B1/AoB1 ---> cosθ = A1B1/Ho.cosθ ---> A1B1 = Ho.cos²θ

Fazendo o mesmo para os triângulos A1B2B1 e B2A2A1 conclui-se que A2B2 = Ho.cos⁴θ

Continue e a soma será: Ho.cos² θ + Ho.cos⁴θ + Ho.cos⁶θ^{+ .....}

Note que se chega numa PG infinita decrescente de razão q = cos²θ ---> Calcule a soma

Não estou conseguindo fazer a soma dos termos alguem poderia me passar qual a ideia?

por Luciano Augusto Sex 15 maio 2020, 23:36

por **Elcioschin** Sáb 16 maio 2020, 00:15

Infelizmente a figura não existe mais. Caso a tenha, poste-a, por favor.

por Luciano Augusto Sáb 16 maio 2020, 10:24

Elcioschin escreveu:Infelizmente a figura não existe mais. Caso a tenha, poste-a, por favor.

por Luciano Augusto Sáb 16 maio 2020, 15:15

postei Elcioschin

por **Medeiros** Sáb 16 maio 2020, 15:59

0° < θ < 90° -----> 0 < senθ < 1 ----> 0 < (1 - sen²θ) < 1

(1 - sen²θ)ⁿ > (1 - sen²θ)ⁿ⁺¹

por fipswOw Dom 31 Jul 2022, 18:52

Luciano Augusto escreveu:
Elcioschin escreveu:Vou começar

Seja AoBo = Ho, A1B1 = H1, A2B2 = H2, ..... etc

No triângulo AoB1Bo ---> cosθ = AoB1/AoBo ---> cosθ = AoB1/Ho ---> AoB1 = Ho.cos θ

No triângulo B1A1Ao ---> cosθ = A1B1/AoB1 ---> cosθ = A1B1/Ho.cosθ ---> A1B1 = Ho.cos²θ

Fazendo o mesmo para os triângulos A1B2B1 e B2A2A1 conclui-se que A2B2 = Ho.cos⁴θ

Continue e a soma será: Ho.cos² θ + Ho.cos⁴θ + Ho.cos⁶θ^{+ .....}

Note que se chega numa PG infinita decrescente de razão q = cos²θ ---> Calcule a soma
Não estou conseguindo fazer a soma dos termos alguem poderia me passar qual a ideia?

[latex]q = cos^{2}\Theta \rightarrow S = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{H_{0}}{1 - cos^{2}\Theta } = H_{0}\cdot \frac{1}{sen^{2}\Theta } = A_{0}B_{0}\cdot cossec^{2}\Theta [/latex]