Limites 4

por ViniciusAlmeida12 Sex 01 maio 2015, 10:09

Calcular o limite
$Limites 4 Gif$

Minha dúvida é: eu posso "subir" o limite para o expoente e trabalhar com a expressão do expoente?

por **Carlos Adir** Sex 01 maio 2015, 10:42

Pode sim.
Você pode fazer isso, se e somente se embaixo não tiver nenhuma variável.
$\lim_{x\to a} k^{f(x)}=k^{\lim{x \to a}f(x)}$
Se, e somente se k for constante, no caso, 2:

$\\ \lim_{x \to \infty}x \left(\sqrt{x^2+4}-x \right )=\lim_{x \to \infty}x \left(\dfrac{x^2+4-x^2}{\sqrt{x^2+4}+x} \right )=\lim_{x \to \infty}\dfrac{4x}{x \left(\sqrt{1+\dfrac{4}{x^2}}+1 \right )}= \\ = \lim_{x \to \infty}\dfrac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x^2}}+1}=\dfrac{4}{1+1}=2$
Logo:
$\lim_{x \to \infty} 2^{x(\sqrt{x^2+4}-x)}=2^{\lim_{x \to \infty}\left[x(\sqrt{x^2+4}-x) \right ]}=2^{2}=4$

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