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por **Christian M. Martins** Seg 27 Abr 2015, 00:43

A expressão $\sqrt{10+\sqrt{10}}\times \sqrt{10-\sqrt{10}}$ é igual a:

a) o
b) sqrt 10
c) 10 - sqrt 10
d) 3 sqrt 10
e) 90

Será que podem explicar da maneira mais detalhada possível, pra mim? Sou ruim em Matemática.

Gabarito: alternativa D.

por **LPavaNNN** Seg 27 Abr 2015, 06:42

$\sqrt{a+-\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}+-\sqrt{\frac{a-c}{2}}\\c=\sqrt{a^2-b}\\\sqrt{10+\sqrt{10}}\\c=\sqrt{90}\\\sqrt{10+-\sqrt10}=\sqrt{\frac{10+\sqrt{90}}{2}}+-\sqrt{\frac{10-\sqrt{90}}{2}}$

então temos uma multiplicação do tipo (a+b)(a-b)=a²-b²

$(\sqrt{\frac{10+\sqrt{90}}{2}}+\sqrt{\frac{10-\sqrt{90}}{2}}).(\sqrt{\frac{10+\sqrt{90}}{2}}-\sqrt{\frac{10-\sqrt{90}}{2}})=\\\frac{10+\sqrt{90}}{2}-(\frac{10-\sqrt{90}}{2})=\sqrt{90}=\sqrt{9.10}=3\sqrt{10}$

a primeira coisa que escrevi usando incógnitas a e b, é a forma de escrever de maneira diferente um número que é a raiz da soma ou subtração de um número com a raiz de outro, o que chama de ''fórmula '' .

no caso eu uei o sinal+-, quando o sinal dentro da raiz for mais, então a outra forma, é a soma de duas raízes, quando o sinal for menos, é a subtração .

Tudo está na resolução, estou adicionando essa observação, pra caso reste dúvidas.

por **Christian M. Martins** Seg 27 Abr 2015, 10:24

Valeu!

por **Elcioschin** Seg 27 Abr 2015, 11:35

Outro modo, bem simples, colocando tudo dentro da mesma raiz:

x = √(10 + √10).(√(10 - √10)

x = √[(10 + √10).(10 - √10)]

x = √[10² - (√10)²]

x = √(100 - 10)

x = √90

x = √(9.10)

x = 3.√10

por **Christian M. Martins** Seg 27 Abr 2015, 12:47

Mas neste caso pode colocar tudo dentro da mesma raíz, Elcio?

por **Elcioschin** Seg 27 Abr 2015, 13:40

Sim, pode, pois é uma propriedade das potências (para raízes de mesmo grau: no caso grau 2)

(a.b)^1/2 = a^1/2.b^1/2 ---> É o mesmo que:

√(a.b) = √a.√b

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