Calcule o valor de cos ∏/5 + cos 3∏/5

por OliviaTate Dom 26 Abr 2015, 16:02

Calcule o valor de cos ∏/5 + cos 3∏/5

Esse ângulo de 36º está me confundindo, alguém me ajuda?

Gabarito:

por **Carlos Adir** Dom 26 Abr 2015, 21:03

$\\ cos \ \dfrac{\pi}{5}=cos \ 36^o \\ cos \ \dfrac{3\pi}{5}=-cos \ 72^o$
Perceba que um é o dobro do outro. Temos a relação abaixo:
$cos \ \alpha = \sqrt{\dfrac{1 + cos \ 2 \alpha}{2}}$
Obtemos então:
$S = cos \ 36^o - cos \ 72^o= cos \ 36^o - \left(1+cos \ 72^o \right )+1=cos \ 36^o + 1 - 2 \cdot cos^2 \ 36^o$
Agora, resta-nos calcular o cosseno de 36°:
$cos \ 36^o = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$
Então, o resultado vira:
$\\ S = -2 \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \right )^2 + \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \right )+1 = \dfrac{1}{2}$

E há mais uma maneira de calcular:
Utilizando Protasférese:
$\\ cos (a + b)+cos (a-b)=2 \cdot cos \ a \cdot cos \ b \\ OU \\ cos \ a + cos \ b = 2 \cdot cos \ \left(\dfrac{a+b}{2} \right )\cdot cos \ \left(\dfrac{a-b}{2} \right )$
Com isso, temos:
$\\ cos \ \dfrac{\pi}{5} + cos \ \dfrac{3 \pi}{5}=2 \cdot cos \ \left(\dfrac{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{\pi}{5} \right )}{2} \right ) \cdot cos \ \left(\dfrac{\left(\dfrac{3\pi}{5}-\dfrac{\pi}{5} \right )}{2} \right ) = \\ = 2 \cdot cos \ \left(\dfrac{2\pi}{5} \right ) \cdot cos \ \left(\dfrac{\pi}{5} \right )$
Agora, é necessário calcular isto.
$\\ 2 \cdot cos \ \left(\dfrac{2\pi}{5} \right ) \cdot cos \ \left(\dfrac{\pi}{5} \right ) = 2 \cdot \left(cos^2 \ \dfrac{\pi}{5} - sen^2 \ \dfrac{\pi}{5} \right ) \cdot cos \ \dfrac{\pi}{5}= \\ = 2 \left(2cos^2 \ \dfrac{\pi}{5} - 1 \right ) \cdot cos \ \dfrac{\pi}{5}$
Novamente podemos usar o valor do cosseno de 36° = [1 + (raiz de 5)]/4
Não sei muito bem como sair do produto para um valor conhecido como angulos de 30°, 45° ou de 60°.
Vou procurar aqui uma maneira.

por **Elcioschin** Dom 26 Abr 2015, 21:43

Olívia

Utilize diretamente a equação da Prostaférese

cosa + cosb = 2.cos[(a + b/2)].sen[(a - b)/2]

Faça a = 3.pi/5 e b = pi/5

cos36º = (√5 + 1)/4 ---> Calcule sen36º
cos72º = (V5 - 1)/4