Dimensão e Base dos Subespaços

Sejam e subespaços vetoriais do .

a) Encontre a dimensão e uma base para os subespaços  e .

b) Determine os geradores para os subespaços .

a) Em W3, têm-se que 2y+z+2t=0 e z=2t, então isso implica que 2y+2t+2t=0 => y=-2t. Além disso, a variável x é livre.

Então um vetor de W3 é escrito da forma 
(x,-2t,2t,t)=(x,0,0,0)+(0,-2t,2t,t)=x(1,0,0,0)+t(0,-2,2,1)

Portanto, W3=[(1,0,0,0),(0,-2,2,1)] e DimW3=2 e uma base para ele será B={(1,0,0,0),(0,-2,2,1)}

Para W4, têm-se que x=-y e z=2t e a variável y e t são livres nesse caso, então um vetor de W4 será da forma
(-y,y,2t,t)=(-y,y,0,0)+(0,0,2t,t) = y(-1,1,0,0)+t(0,0,2,1)

Portanto, W4=[(-1,1,0,0),(0,0,2,1)] e DimW4=2 e uma base é B'={(-1,1,0,0),(0,0,2,1)}.

b) Um elemento u∈W3∩W4 se u∈W3 e u∈W4 ao mesmo tempo, então temos que u pode ser escrito como u=(x,-2t,2t,t) e também como u=(-y,y,2t,t). Então temos que para u∈W3∩W4 implica que (x,-2t,2t,t)=(-y,y,2t,t).

Com isso temos que x=-y e y=-2t => x=2t

Portanto, u=(2t,-2t,2t,t) = t(2,-2,2,1).

Logo, W3∩W4=[(2,-2,2,1)]