Inequação 2

por Blackmount Dom 22 Mar 2015, 17:18

Os números reais a, b, c e d são tais que a < b < c < d e a + d = b + c. Qual é maior: ad ou bc?

R: bc

por **Elcioschin** Dom 22 Mar 2015, 18:35

Faça a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 e descubra

por Blackmount Dom 22 Mar 2015, 19:35

Sim, Elcio, mas a questão é discursiva

Se num problema parecido eu tivesse que demonstrar algebricamente, como eu faria pra provar que vale para qualquer real?

por **Carlos Adir** Dom 22 Mar 2015, 22:48

Eu já respondi esta questão. Contudo, não estou achando a resposta.
Mas podemos fazer na prova discursiva:
$\\ a < b < c < d; a+ d = b + c \\ \Rightarrow \exists m, \ n, \ k \in \mathbb{R^{+}}: \ d = a+m, \ c = a + n, \ b = a+k \\ \Rightarrow a+ (a+m) = (a+k)+(a+n) \Rightarrow m = n + k \Rightarrow d=a+n+k$

Então, calculando o valor de ad e bc:
$\\ \begin{cases}b = a+ k \\ c=a+n \\ d = a + n + k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ad = a\left(a+n+k \right )=a^2+an+ak \\ bc = \left(a+k \right )\left(a+n \right )=a^2+ak+an+kn \end{cases} \\ ad - bc = \left({\color{Red} a^2}+{\color{Blue} an}+{\color{Magenta} ak} \right )-\left({\color{Red} a^2}+{\color{Magenta} ak}+{\color{Blue} an}+kn \right )=-kn \\ Sabemos \ que \ k>0 \ e \ n>0 \Rightarrow kn >0 \Rightarrow -kn<0 \\ \Rightarrow ad - bc < 0 \Rightarrow ad < bc$

O maior é bc