Esboço de gráfico e sistema linear

Olá pessoal,
imaginem a seguinte situação, precisa-se escolher todos os pontos cuja soma das distância a dois determinados pontos sejam K e a diferença das distância seja U.

Por exemplo, supondo que os pontos sejam (0,0) e (5,0), e a diferença entre as distâncias seja 1 e a soma seja 2.

Monto um sistema:

sqrt((x^2)+(y^2))-sqrt((x-5)^2+(y^2))=1
sqrt((x^2)+(y^2))+sqrt((x-5)^2+(y^2))=2

Se eu somar as duas equações, obtém-se uma circunferência:

sqrt((x^2)+(y^2))=3/2
(x^2)+(y^2)=9/4

Porém, os pontos dessa circunferência não obedecem às condições acima.

Pegando-se por exemplo o ponto (0,3/2), a diferença das distância entre os dois pontos dá aproximadamente -3,7.

Na realidade esse gráfico é parecido com uma metade de hipérbole (usei o Wolfram para fazê-lo).

Como se resolvem sistemas desse tipo, para se obter o gráfico real?


Muito obrigado.

Vamos chamar dois pontos como focos.

Seja um ponto P variável, temos:

U e K os valores da diferença e soma, respectivamente:

Denotamos como  como a distância entre os pontos A e B.


Temos pelo enunciado que:

Somando ambas as equações obtemos:

Agora pegando a segunda e subtraindo a primeira:


Veja que temos duas circunferências, e não se tocam em ponto nenhum. Logo, não existe nenhum ponto que satisfaça.

Outra maneira de resolução é:
Desenvolvendo o primeiro membro obtemos:

Spoiler:

Desenvolvendo o segundo membro:

Spoiler:

Igualando os y²:


Portanto, não há nenhuma solução.

Muito obrigado Sir. Carlos.

Coloquei que a equação dava uma hipérbole, mas a hipérbole é só a primeira equação, a segunda não representa nada, é uma "pseudo-elipse".
Por que isso é diferente de uma resolução típica x+y=U, x-y=K?
Pois olhando eu diria se tratar de um sistema determinado, já que o
determinante vale -2 e eu morreria enganado.
Há alguma lógica a se seguir nesse caso, ou só mesmo isolando cada incógnita (supondo cada de distância como uma variável) e então analisando?
Ou por as distâncias serem variáveis contendo variáveis, eu deva criar outro sistema baseado somente então nessas duas (é o que mas pareceu coerente)?

Temos um sistema, com duas variáveis: x e y.
Consequentemente, o sistema terá entre 0 e 4 soluções(termos x² e y² fazem isto ocorrer).
A segunda equação claramente é uma elípse. Desde que, a distância entre os focos seja menor que o valor de K.
Isto vem da desigualdade triangular.

Já a segunda é uma hipérbole.

Para que haja solução, é necessário que:




Veja o link abaixo, como cada fator influencia.
Hipérbole e Elipse

Muito obrigado.