Esboço do gráfico

Esboce os gráficos das funções  ,  e  em um mesmo sistema de eixos ortogonais.

Gabarito:

Spoiler:

Eu gostaria de saber porque o formato de  é parecido com o de uma parábola e porque ela é uma função par.

De maneira geral, para esboçar o gráfico de uma função pode-se calcular alguns pontos notáveis em cada uma das funções, obter informações acerca do comportamento das funções quanto à aproximação de pontos de interesse através de limites, encontrar pontos de máximo/mínimo e, obter informações acerca da concavidade e pontos de inflexão. Para achar as intersecções entre as funções, iguale-as entre si.

Quanto a função:

f(x)=e^{x}+e^{-x}-3

Essa função resulta, por exemplo, da composição entre as funções:

f_{1}(x)=e^x

f_{2}(x)=e^{-x}-3

Quando x tende a infinito (cresce indefinidamente), f_{1}(x) e f_{2}(x) apresentam comportamentos distintos. Utilizando derivadas, pode-se também encontrar o ponto onde f(x) é mínima e os pontos de inflexão, que resultam na forma que essa função apresenta.

Quanto a função ser par, esta é a função hiperbólica g(x)=cosh(x) magnificada por um fator 2 e deslocada 3 unidades para baixo.

Assim:

y(x)=e^{x}+e^{-x}-3=2cosh(x)-3

Como g(x)=cosh(x) é uma função par, y(x) também é.

Outra explicação, mais acessível a um estudante do Ensino Médio:

Note que os gráficos de e^x e e^-x são simétricos em relação ao eixo y

A soma de ambas as funções, obviamente também será simétrica em relação ao eixo y.

Para saber porque o gráfico se parece com uma parábola, faça como sugerido pelo colega Mimelist:

Dê alguns valores para x e obtenha os valores correspondentes de y para cada função (com isto você desenha as duas funções.

Com estes dados some os valores de y (para cada valor de x).

Subtrair 3 desta função soma, nada mais é do que descer o gráfico da soma 3 unidades.

Depois desenhe a função soma

Obrigado pessoal