(OBM 1ª Fase 2006) Álgebra

Sejam x e y números racionais. Sabendo que  também é um número racional, quanto vale o produto xy?

A) 20.
B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores.
C) 1.
D) 6.
E) Não se pode determinar.

Resposta: letra A.

1. multiplique-o por 4 +yV2006 
(x - 5V2006 )( 4 + yV2006) / (4 -yV2006)(4 +yV2006)
4x -20V2006 +xyV2006 -5*2006*y / 4² -(yV2006)²

3. coloque V2006 em evidencia no numerador 
V2006 ( xy -20) + 4x -10030y / 16 -2006y²

4. (lógica) se X e y são racionais, juntamente com a expressão, então o divisor pode ser levado em desconsideração , até porque , não importando o valor de y, nas exigências da questão , a expressão continuará sendo racional
4.1 avaliemos só a parte de cima

5 . avaliemos o numerador de 2 maneiras diferentes, V2006(xy -20) e 4x - 10030y
5.1) 4x - 10030y sempre será  inteiro.
5.2) V2006(xy - 20) -> nas condições do problema tal número precisa ser igual a 0, não importa como, pois se for diferente ocorrerá que este não será mais racional.

6. para que ele seja zero só há uma opção : xy - 20 = 0

gab. :  xy = 20

Obrigado, tinha conseguido ir até o passo 4. Dali pra frente não tinha conseguido analisar da forma como você fez, mas com a explicação ficou claro.

So corrigindo um erro meu, aqui :
" 5.1) 4x - 10030y sempre será  inteiro. "

O correto seria : "sempre será racional"