Termodinâmica

por gaki Ter 10 Mar 2015, 20:19

No método de Rüchhardt para medir γ = Cp / Cv do ar, usa-se um grande frasco com um gargalo cilíndrico estreito de raio a, aberto para a atmosfera (p0 = pressão atmosférica), no qual se ajusta uma bolinha metálica de raio a e massa m. Na posição de equilíbrio O da bolinha, o volume de ar abaixo dela no frasco é V (fig.). a) Calcule a força restaurador a sobre a bolinha quando ela é empurrada de uma distância x para baixo a partir do equilíbrio, o movimento sendo suficientemente rápido para que o processo seja adiabático. Mostre que a bolinha executa um movimento harmônico simples e calcule o período τ em função de a, m, V, p0 e γ

Sem gabarito...

por **jango feet** Dom 12 Abr 2015, 03:45

Falta a imagem champs!

por **Thálisson C** Seg 20 Abr 2015, 16:05

Inicialmente com a bolinha em equilíbrio:

$\\F_{g\acute{a}s} = mg + F_{atm} \;\; \rightarrow \;\; P\cdot S = mg + P_{o} \cdot S\; \rightarrow \;\; (P - P_{o}) = \frac{mg}{S}\\\\ \therefore \;P = \frac{mg}{\pi a^{2}} + P_{o} \;\; \rightarrow \; press\tilde{a}o \; inicial\; do\; g\acute{a}s$

Logo após o empurrão na bolinha a força restauradora é a resultante:

$\\F_{r} = P_{f} S - P_{o} S - mg \;\; \rightarrow \;\; kx = \pi a^{2}(P_{f} - P_{o}) - mg$

Substituindo Po da primeira, na segunda equação:

$\\ kx = \pi a^{2}\left (P_{f} - (P - \frac{mg}{\pi a^{2}}) \right ) - mg \;\; \rightarrow \;\; kx = \pi a^{2}(P_{f} - P)$

Em uma transformação adiabática é válida: $\\PV^{\gamma } = k$ , diferenciando ambos os lados e sabendo que: $\\PV^{\gamma } = P_{f}V_{f}^{\gamma }$ , chegamos em:

$\\\gamma PV^{\gamma -1}(V_{f} - V) = -(P_{f} -P)V^{\gamma } \;\; \rightarrow \;\; (P_{f} -P) = -\frac{\gamma P(V_{f} - V)}{V}\\\\ sendo: \; V_{f} = V - \pi a^{2}x \;,\;\; ent\tilde{a}o\; \;\; (P_{f} -P) = \frac{\gamma P\pi a^{2}x}{V}$

substituindo:

$\\ kx = \frac{\gamma P\pi^{2} a^{4}x}{V} \;\; \rightarrow \;\; \left (\frac{2\pi }{T} \right )^{2} \cdot m = \frac{\gamma P\pi^{2} a^{4}}{V} \;\; \rightarrow \;\; \boxed{T = \frac{2}{a^{2}}\sqrt{\frac{mv}{\gamma (P_{o} + \frac{mg}{\pi a^{2}})}}}$

por **Mimetist** Seg 20 Abr 2015, 16:13

Resolução alternativa sem a utilização de cálculo.

Primeiramente, note que a pressão sentida pela esfera é

p_{o}=p_{atm}+\frac{mg}{\pi a^2}\ \ \ \ \ (I)

Considere que o processo seja adiabático:

pV^{\gamma}=k

Quando a elongação da esfera é x, o volume inicial é reduzido e a pressão varia, dessa forma, temos:

p_{o}V^{\gamma}=p(V-\pi a^2x)^{\gamma} \iff p=p_{o}\left ( 1-\frac{\pi a^2x}{V} \right )^{-\gamma} \ \ \ \ (II)

Para \pi a^2x << V , utilizando uma expansão binomial de primeira ordem em (II) :

p \approx p_{o}\left ( 1+\gamma\frac{\pi a^2x}{V} \right )

Assim:

\Delta p=(p-p_{o})=\frac{F}{\pi r^2} \iff F=\Big(p_{o}\left ( 1+\gamma\frac{\pi a^2x}{V} \right )-p_{o}\Big) \pi a^2

Portanto:

F=p_{o}\gamma\frac{\pi^2a^4}{V}x

Utilizando a relação (I) :

F=p_{o}\gamma\frac{\pi^2a^4}{V}x \iff \boxed{F=\Big(p_{atm}+\frac{mg}{\pi r^2}\Big)\gamma\frac{\pi^2a^4}{V}x}} \ \ \ \rightarrow \text{MHS}

Prosseguindo para determinarmos o período:

F=p_{o}\gamma\frac{\pi^2a^4}{Vx}=kx \iff k=p_{o}\gamma\frac{\pi^2a^4}{V}

Do movimento harmônico simples:

\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}

\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{p_{o}\gamma\frac{\pi^2a^4}{V}}{m}}=\sqrt{\frac{p_{o}\gamma\pi^2a^4}{mV}}

Assim, obtemos o período do sistema e, utilizando novamente a relação (I) :

\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{mV}{\Big(p_{atm}+\frac{mg}{\pi a^2}\Big)\gamma \pi^2a^4}}} \ \ \text{ ou } \ \ \boxed{T=\frac{2}{a^2}\sqrt{\frac{mV}{\Big(p_{atm}+\frac{mg}{\pi a^2}\Big)\gamma}}}

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