(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4

por **aryleudo** Seg 23 Fev 2015, 17:51

Uma esfera de massa m = 4kg presa a uma haste de massa desprezível atinge, numa colisão perfeitamente elástica, um bloco inicialmente em repouso, de massa m=6kg. A haste encontra-se inicialmente na posição horizontal e possui um comprimento igual a 45cm, com mostrado na igura 3. Logo após a colisão, o bloco desliza sobre uma superfície plana com coeficiente de atrito cinético μc = 0,4, percorrendo uma distância de 50cm. Depois que o bloco passa pela superfície com atrito, ele passa a deslizar sobre uma superfície de coeficiente de atrito cinético desprezível como mostra a figura abaixo. Calcule a altura máxima atingida pelo bloco quando este entra na elevação da pista (à direita).

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 33mst8z

por **Thálisson C** Seg 23 Fev 2015, 19:23

a velocidade da esfera no final será igual a velocidade de saída do bloco (colisão perfeitamente elástica)

por conservação de energia:

mgh = mv²/2 --> v² = 2gh (h = l) --> v² = 2.10.0,45 --> v = 3 m/s

a energia cinética do bloco então, será: 6.9/2 = 27 J

o trabalho da força de atrito irá dissipar:

W(fat) = Fat.d --> W(fat) = 0,4.60.0,5 = 12 J

restando apenas 15 J ao bloco, então esses serão convertidos em potencial:

15 = mgh --> 15 = 6.10.h --> h = 0,25 m

por **Elcioschin** Seg 23 Fev 2015, 19:28

Thálisson

Houve uma distração na digitação: a massa do bloco é 6 kg

a energia cinética do bloco então, será: 6.9/2 = 27 J

W(fat) = Fat.d --> W(fat) = 0,4.60.0,5 = 12 J

por **Thálisson C** Seg 23 Fev 2015, 19:29

nossa, valeu Elcio! já vou editar.

por Galnagdeno Dom 26 Jul 2015, 14:16

Thálisson C escreveu:a velocidade da esfera no final será igual a velocidade de saída do bloco (colisão perfeitamente elástica)

A colisão ser perfeitamente elástica significa que a energia se conserva no sistema, mas isso implica que toda a energia cinética da esfera passe para o bloco? Alguma parte desta energia não voltaria para a esfera?

por **Carlos Adir** Dom 26 Jul 2015, 14:54

Bem observado Galnagdeno.
Neste caso, devemos nos atentar à quantidade de movimento.
Vamos supor que depois da colisão, a esfera ainda tenha uma velocidade(consequentemente energia e momento linear). Então, satisfaz:
$\\ \mathrm{Q_i = Q_f} \\ \mathrm{(4 \ kg) \cdot (3 \ m/s)=(4 \ kg) \cdot v_m + (6 \ kg) \cdot (v_M)}$
Por conservação de energia temos:
$\\ \mathrm{E_i = E_f} \\ \mathrm{\dfrac{4 \ kg \cdot (3 \ m/s)^2}{2}=\dfrac{4 \ kg \cdot v_m^2}{2} + \dfrac{6 \ kg \cdot v_M^2}{2}}$
Temos então um sistema de duas equações e duas incógnitas, e podemos resolver. Para isso, vamos achar a velocidade final do corpo de massa m ou seja, 4 kg:
$\\ \begin{cases}\mathrm{2v_m + 3v_M = 6 \ m/s} \\ \mathrm{2v_m^2 + 6v_M^2=18 \ (m/s)^2} \end{cases} \\ \mathrm{7v_m^2 - 24v_m +9=0} \\ \mathrm{v_m = \dfrac{24 \pm 18}{14}}$
E agora, podemos perceber que se escolhermos o sinal de mais, teremos v_m = 3 m/s. O que é a velocidade inicial. Logo, essa opção é descartada. A velocidade será v_m = (3/7).
Agora, são simples contas e descobrir a resposta.
Mas antes, vamos verificar se esse valor está correto:
$\\ \begin{cases}\mathrm{2 \left(\dfrac{3}{7} \right ) + 3v_M = 6 \ m/s} \\ \mathrm{2 \cdot \left(\dfrac{3}{7} \right )^2 + 6v_M^2=18 \ (m/s)^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \mathrm{v_M = \dfrac{12}{7} \ m/s} \\ \mathrm{v_M = \dfrac{12}{7} \ m/s} \end{cases}$
O que vale. Logo, a energia cinética do bloco após a colisão será:
E = (6 . (12/7)²)/2 J = 432/49 J
Trabalho do atrito = 12 J
Como a energia do bloco após a colisão é menor que o trabalho do atrito, então ele para. Podemos calcular onde ele para:
$\\ \mathrm{\dfrac{432}{49}\ J = 0,4 \cdot 60 \cdot d \ \dfrac{J}{m} \Rightarrow d=\dfrac{18}{49} \ m \approx 0,36 \ m = 36 \ cm}$
Ou seja, a altura final é zero.

Acho que é isso. Não vi nenhum erro.

por Galnagdeno Dom 26 Jul 2015, 15:03

Espero que consigam entender a minha letra... Demonstrei as velocidades após o impácto para alvos fixos:

Os índices (1), (2), (i), e (f), representam, respectivamente: o objeto em movimento, o alvo, inicial, final.

Pela conservação de momento linear, temos:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 <img src=

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 <img src=

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Como a colisão é perfeitamente elástica, podemos igualar a energia cinética inicial do sistema com a energia final:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 <img src=

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Dividindo (2) por (1), encontramos:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 <img src=

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Então substituímos (3) em (1) e encontramos a velocidade final da partícula 1:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 <img src=

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Somamos m1v1i nos dois lados da equação (1) e então isolamos v2f e, ao fim, substituímos (4) na equação para encontrar v2f:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 4 <img src=

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por Galnagdeno Dom 26 Jul 2015, 15:07

Bem... Fiz a questão com as fórmulas que demonstrei e encontrei que a altura seria igual a 8,8 cm.

por Galnagdeno Dom 26 Jul 2015, 15:15

Consegues visualizar minhas imagens?

por **Carlos Adir** Dom 26 Jul 2015, 15:19

Não, não consigo. Segundo o Regulamento:

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