(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 5

por **aryleudo** Seg 23 Fev 2015, 17:52

Um pequeno objeto orbita com velocidade v em torno de um planeta de raio R.

a) Considerando que o objeto orbita próximo da superfície do planeta a uma altura desprezível, determine a relação entre a

velocidade de escape do objeto e a sua velocidade orbital v.

b) Se uma pedra é arremessada para cima em linha reta com uma velocidade inicial v0, obtenha uma expressão para a altura máxima alcançada por essa pedra em termos de v0 e o do raio R do planeta.

OBS.: Sem resposta!

por **Thálisson C** Seg 23 Fev 2015, 18:14

vamos deduzir uma expressão para a velocidade de escape.

o objeto deve ser arremessado para sair da terra e não voltar mais! então toda a sua energia cinética no lançamento deve consumir a potencial no início:

$\frac{mV_{e}^{2}}{2} = \frac{GMm}{R} \;\; \rightarrow \;\; V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

sabemos que a velocidade orbital é:

$\frac{mV^{2}}{R} = \frac{GMm}{R^{2}} \;\; \rightarrow \;\; V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

relação entre as duas:

$V_{e} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{GM}{R}} \;\; \rightarrow \;\; V_{e} = V\sqrt{2}$

b) conservação de energia:

$E_{c_{i}} = E_{pi} = E_{cf} + E_{pf}$

sabendo que a energia cinética final é zero e a potencial final é -GMm/(r+h) , calcularemos a altura máxima:

$\frac{mv^{2}}{2} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}\;\; \rightarrow \;\; h =\frac{v^{2}R}{\frac{2GM}{R} -v^{2}}$

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