Exercício Vetores

por **Pietro di Bernadone** Qua 18 Ago 2010, 19:06

Boa noite prezados usuários do PIr²!

a) Mostre que um ponto P pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0, 1], tal que:

$\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$

Observação: Verifique que a equação acima não depende do ponto O. Portanto, o número t é determinado a partir de A, B e P.

b. Em particular, mostre que o ponto médio do segmento AB é obtido fazendo t = 1/2 na equação acima.

c. Mostre que a equação acima é uma equação vetorial paramétrica da reta r que passa pelos pontos A e B, quando consideramos o parâmetro t percorrendo todo o R.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Euclides** Qui 19 Ago 2010, 00:45

Vou fazer a demonstração principal e deixar o resto para você ou outra pessoa que queira continuar.

Observe na figura abaixo que para que o ponto P pertença ao segmento AB o vetor OP deve ser a soma vetorial de OA'+OB'. As deduções que se seguem depois

1) supõem que OB' seja o produto de OB por um escalar t<1
2) semelhança dos triângulos explícitos

Exercício Vetores Trera

$\\\frac{B'P}{OA}=\frac{B'B}{OB}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\frac{OA'}{OA}=\frac{OB-OB'}{OB}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\frac{OA'}{OA}=1-\frac{OB'}{OB}\\\\\\se\,\,\,{\color{red} \overrightarrow{OB'}=t .\overrightarrow{OB}} \,\,\, \Rightarrow \frac{OA'}{OA}=1-t.\frac{OB}{OB}\, \,\,\,\,{\color{red} OA'=(1-t)OA}\\\\\\\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\fbox{\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t.\overrightarrow{OB}}\\\\c.q.d.$

b) no caso do ponto médio, a relação entre os triângulos é de 1:2

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