interseção

a) Determine, se possível, uma reta r1, que forma um ângulo de π/4 radianos com o
vetor −→v = (1, 2), que passa pelo ponto (2, 3) e intercepta o conjunto C = {(x, 0); x ∈ R e x > 0}.
Determine também o ponto B de interseção de r1 com C .

b) [2,0 pontos] Determine possíveis pontos C de forma que, o triângulo ABC tenha área √
3/2,
A = (0, 0) e C ∈ r1, com r1 e B encontrados no item (a).

c) [1,0 ponto] Esboce, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os possívies triângulos ABC encontrados.

ERRATA

Houve lamentável falta de atenção que torna necessário corrigir a última linha da minha resposta anterior.

Deve ser: C1=(x1,  h) e C2=(x2, -h)

Boa tarde,gostaria de sabe como vc chegou a reta r2.Eu consegui chegar na r1 aplicando produto interno.Eu não estava conseguindo achar o ponto C do triangulo.Vendo o que vc fez eu entendi,mas não entendi como vc chegou a r2 e como deu o valor de x2.Vi que vc substituiu em r2.
Obrigada

Bom dia Maria José!

Não sei se entendi sua pergunta pois não existe reta r2.  O enunciado fala apenas em r1 e foi essa que encontrei e indiquei no desenho (parte de baixo). Fiz um risco cinza para indicar a direção de v e explicitar que r1 faz 45° com ela. Também, acredite, não sei bem o que é "produto interno"; sei o que é produto vetorial e produto escalar -- acho que chamam de interno a este último. De qualquer forma, vou dizer por extenso o que fiz.

A reta r1 foi obtida a partir da suas equações paramétricas ----> r1 = u.t + P.
Sendo P(2, 3) o ponto dado e u o seu vetor diretor, que faz 45° com o vetor v dado conforme pedido.

Então precisamos obter o vetor u e o fiz pelo caminho que achei mais fácil (menos conta). Rotacionei v em 90°, obtendo v'. E considerei o vetor -v que, por óbvio, faz 180° com v. Note que, até agora, todos têm mesmo módulo. Como -v e v' formam um quadrado, a resultante, que é facilmente calculada pela soma dos dois vetores, forçosamente será a diagonal, ou seja, formará 45° com a direção de v -- para efeitos de achar a reta, tudo o que me importa é a direção, não preciso do sentido. Também o módulo de u é diferente (maior, claro) , mas isto já não importa.

O conjunto C não deixa dúvidas, é o das abscissas positivas. Aqui, infelizmente, o enunciado dá azo à confusão ao pedir, no item b, por pontos nomeados também de C.

O ponto B é, automaticamente, a abscissa de r1 quando sua ordenada é zero.

PARA ENCONTRAR OS PONTOS C:

A área do triângulo foi definida (exigida). O desenho já nos lembra que são possíveis dois pontos C. Já sabemos o valor da sua base (xB - xA). Como a área é o semi-produto da base pela altura, podemos calcular qual deve ser sua altura (h). Como os pontos C que dão essa altura devem pertencer à reta r1, o valor da altura é a própria ordenada dos pontos C e podem ser substituídos na eq. de r1.

Fiz isso para encontrar x1, abscissa de C1.

Poderia fazer o mesmo para achar x2 -- substituindo y por -h, ou seja, y=-raiz(3)/3 na eq. de r1.

Mas fiz diferente. Uma reta, por ser reta, tem a declividade constante. Então se do ponto B eu ando um pedacinho para a esquerda e acho x1, basta andar o mesmo pedacinho para a direita e encontro x2. Esse pedacinho está claro no valor de x1, é raiz(3)/9, mas para deixar isto mais explícito indiquei aquela continha (3 - x1 + 3).

ADENDO. Trabalhei os vetores aplicados na origem dos eixos porque fica mais fácil visualizar e me garantir não estar errando. Mas o vetor é livre e poderia tê-los posto a partir de qualquer ponto, como, de fato, o mesmo vetor u aparece na origem e também sobre a reta r1.

Ficou claro?

Produto interno é um tópico do nosso módulo para se encontrar retas com angulação.Achei o seu processo muito mais fácil e rápido.Perguntei sobre a segunda reta,pois pelo produto interno chegamos a um vetor diretor e com a inversão dele um vetor perpendicular.As duas retas são obtidas pelos dois vetores,por isso não tinha entendido.Hoje tenho tutoria e com certeza usarei o seu processo.Valeu e muito obrigada.Depois vou postar uma outra que eu também estou com dúvida.
Obrigada

Outra resolução:

Trigonometria:

Vetores:

Outras duas maneiras de resolução.

Como eu disse eu usei  produto interno,que é a sua resolução por vetores.Só  que a sua resolução está bem mais simplificada.Só não entendi porque você usou 1 sobre raiz de 2.
Obrigada

Qualquer um serve, é o mesmo valor. Se utilizar (raiz de 2)/2 também dará certo.