Interseçao

Seja r a tera interseção dos planos alfa: x+y+z-11=0 e beta: x-4y+5z-10=0. Determine a equação do plano que contém a reta r e passa pelo ponto A(3,-1,4)

{x+y+z-11=0 (1)
{x-4y+5z-10=0 (2)

Através da equação da equação desta reta, dada na forma de interseção, encontramos um ponto pertencente a ela: façamos x=0 e através das equações:
{y+z-11=0 (3)
{4y+5z-10=0 (4)

Encontramos P ( 0,5,6) pois este satisfaz simultaneamente as equações (3) e (4);


→De um e de dois obtemos os vetores normais aos respectivos planos (1) e (2) ∴
n1 = [1 1 1]
n2 = [1 -4 5]

Com o produto vetorial de N1xN2 obtemos o vetor da reta R proposta como interseção dos planos supracitados, haja vista que o vetor resultante deste produto é simultaneamente ortogonal a N1 e N2, sendo portando necessariamente paralelo a  V (vetor diretor de R = [9 -4 -5]

Agora fazemos o produto vetorial entre PA (A-P) e V para encontrarmos o vetor normal do plano procurado:

 | i    j   k |
 | 3 -6  2  | --> N3 (VETOR NORMAL AO PLANO
 | 9 -4 -5 |        PROCURADO)

--> [22  -3  42]

Então o plano procurado é da forma:

22x-3y+42z+d=0 mas o ponto A pertence ao plano:

22(3) - 3(-1) + 42(4) + d= 0

66+ 3+ 168 +d = 0 ∴ d = -237

22x-3y+42z -237=0

Gostaria de ver uma outra solução...para compararmos resultados