Frações

por Naval RJ Qui 05 Fev 2015, 19:15

Se a, b e c são inteiros positivos tais que $Frações Gif$ e $Frações Gif$ , qual é o menor valor possível de a?

A)2011
B)2012
C)2013
D)2014
E)2011.2012

por **Carlos Adir** Qui 05 Fev 2015, 21:06

Temos a média harmônica:
$\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2011} \Rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}=2011 \\ \Rightarrow 3 \cdot 2011=\dfrac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$
$MH\left(a, \ b, \ c \right )=3 \cdot 2011$
Este é um caminho. Agora por outro:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2011} \Rightarrow \dfrac{abc}{ab+bc+cd}=2011$
Como 2011 é primo, a, b e c são inteiros positivos, então (abc)/(ab+bc+ac) é equivalente a 2011, então abc é multiplo de 2011, isto é, um deles deve ser escrito da forma 2011n, então, pegando qualquer valor e indicando 2011n:
$\\ \dfrac{1}{2011n}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2011} \Rightarrow \dfrac{2011nbc}{2011nb+bc+2011nc}=2011 \\ \Rightarrow nbc =2011nb+bc+2011nc \Rightarrow bc \left(n-1 \right )=2011n\left( b+c\right )$
Segue então que b ou c é multiplo de 2011, e do mesmo modo, se usarmos qualquer um e fazermos o mesmo, obteremos que a, b e c serão multiplos de 2011. Assim, o valor mínimo que a assume é então 2011

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