Inequações irracionais

por wbao Qua 04 Fev 2015, 12:21

Resolva a inequação:
$(x - \frac{1}{}x )^{^{\frac{1}{}2}} - (1- \frac{1}{}x)^{\frac{1}{}2} > \frac{x-1}{}x$

por **Carlos Adir** Qua 04 Fev 2015, 19:30

$\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}} < \dfrac{x-1}{x}$
Condição de existência:
$\\ (I) \ \ \ \ \ \ x-\dfrac{1}{x} \ge 0 \Rightarrow x \in \left[-1, \ 0 \right[ \cup \left[1, +\infty \right [ \\ (II) \ \ \ \ 1-\dfrac{1}{x} \ge 0 \Rightarrow x \in \left]-\infty, \ 0 \right[ \cup \left[1, + \infty \right[ \\ De \ (I) \ em \ (II) \Rightarrow x \in \left[-1, \ 0 \right [\cup \left[1, \ +\infty \right ]$
Temos então 2 casos:
1) Primeira parte:
$\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}} \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
Então será negativa no intervalo [-1, 0[
2) Segunda parte:
$\\ \dfrac{x-1}{x} \le 0 \Rightarrow x \in \left]0, \ 1\right] \\$
E será positiva no intervalo ] -∞, 0[U]1, +∞[
Ou seja, na condição de existência, tem-se que a segunda parte é sempre positiva.

Perceba que se a primeira parte for negativa, e a segunda for positiva, já satizfaz a condição. Logo, uma parte da solução está no intervalo [-1, 0[
Agora olhamos somente para x ≥ 1: Ambos serão positivos, logo, podemos elevar ao quadrado e separarmos as raizes que não cometeremos nenhum erro/equívoco:

$\\ \sqrt{\dfrac{x^2-1}{x}}-\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}<\dfrac{x-1}{x} \\ Como \ lidamos \ com \ x \ge 1: \\ \Rightarrow \sqrt{x^2-1}-\sqrt{x-1} < \dfrac{x-1}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x}<2\sqrt{x+1} \\ \Rightarrow \dfrac{x^4-2x^3-2x^2+2x+1}{x^2}<0 \\ \Rightarrow \left(\dfrac{x^2-x-1}{x} \right )^2 < 0$
Ou seja, a resposta para:
$\\ \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}<\dfrac{x-1}{x}$
É somente o intervalo [-1, 0[, pois para o restante, será sempre maior ou igual. Ressaltando que teremos um ponto em que vale a igualdade, quando x²-x-1=0, ou seja, x=(1+√5)/2

Ah sim, agora que fui ver. Eu considerei menor, e não maior.
Contudo, podemos aproveitar a conta. Sabemos que os pontos que serão menores ou iguais, são [-1, 0[U{(1+√5)/2}

Então, o intervalo onde é maior, será:
[1, (1+√5)/2[U](1+√5)/2, +∞[

O raciocínio é o mesmo.

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