Geo Plana

São dados os pontos A,B,C,D e E, nessa ordem, sobre uma reta. Sabe-se que AB + CD = 3BC e DE = AB. Sendo M médio de BE, tem-se que MD = 2 e AE = 16. Calcule MC.

Vamos organizar:
AB=b
BC=c
CD=d
DE=e
b+c+d+e=16



Por AB=DE, temos que e=b

Temos então:
        16=b+c+d+b=
(I)    2b+c+d=16

(II)   De AB+CD=3 BC --> b+d=3c

Como M é o ponto médio de BE, então:
BE = c+d+e --> ME = BM = (c+d+e)/2
AM = AB + BM = b + (c+d+e)/2

Temos que MD=2, como AD=b+c+d
MD=|AD - AM|=(b+c+d)-[b+(c+d+b)/2] =2
2 = (c+d-b)/2 --> c+d=4+b

(III)  c+d=4+b

De (I) com (III) temos:
2b+(4+b)=16
b=4

Com isso, temos que:
         c+d=4+4
(IV)    c=8-d


De (II) e (IV), temos:
4+d=3(8-d)
--->  d=5

De (IV) temos:
c=8-5 = 3

Logo, temos a solução:
b=4; c=3; d=5; e=4

Agora fica facil descobrir a distância.

Amigo, para resolver essa questão é bom você chamar de cada distância de um ponto ao outro de uma letra, por exemplo:

AB=x
BC=Z
MC=y
MD=2 (nesse caso ele já oferecia o valor)
DE=Q

I) Primeiro, repara que DE=AB, então lá nesse quadro acima, você substitui o Q de DE por X também.

II) A soma de todas as distâncias devem ser igual a 16:

AB + BC + CM + MD + DE= 16

no entanto, já sabemos o valor de MD que é 2, agora substituia as letras lá do quadro pelas distâncias:

x + z + y + 2 + x = 16
2x + z + y + 2 = 16
2x + z + y = 16-2
2x + z + y = 14 (primeira equação que já temos)


III) No comando da questão o enunciado diz que M é o ponto médio de BE, ou seja BM= ME (lê-se a distância de B para M é igual a distância de M para E).
Todavia, repare que ME= MD + DE. E  BM= BC + CM
Agora também repare:

BM=ME
BC + CM= MD + DE
z + y = 2 + x

IV) Pelo enunciado:

AB + CD= 3BC
x + y + 2 =3z

V) já temos 3 equações que levam a um sistema, onde Y é o valor de CM (ou MC):

2x + z + y=14
x + y + 2=3z
z + y= 2 + x

x + y + 2=3z
y=3z-2-x

2x + z +y=14  (substituindo o Y)
2x + z + 3z -2-x=14
x+4z=16

x+ y= 2 +x (substituindo também o Y aqui) vem:
z + 3z-2-x=2+x
4z=4+2x

x+4z=16 (substituindo o 4z aqui)
x + 4 +2x=16
3x=12
x=4

4z=4+2x
4z=4+2.4
4z=4+8
4z=12
z=3

Sendo ME=6, logo BM também é 6, mas BC vale 3 logo CM vale 3 também.

Lucas e Carlos! Didática excelente de vocês, obrigado!