Polinômios

Os pares ordenados (a,b) para os quais o polinômio P(x) = a².x^4 + 3x³ + b²x² + 4abx + 4ab deixa resto 10 quando dividido por x + 1 e resto 20 quando dividido por x são em numero de:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Gab: E

É errado aplicar o Teorema do Resto?
P(-1) = 10 ; P(0) = 20
Não bate com Gab

Briott Ruffini

__| a² ......... 3 ......... b² .......... 4ab .............. 4ab
-1 |a² ....... 3-a² .. a²+b²-3 .. 4ab-a²-b²+3 ... a² + b² - 3

Resto = a² + b² - 3 = 10 ----> a² + b² = 13 ---> I

Dividindo por x o resto vale 4ab ---> 4ab = 20 ---> ab = 5 ---> b = 5/a ---> II

II em I ---> a² + (5/a)² = 13 ---> a⁴ - 13a² + 25 = 0

Temos uma equação do 4º grau ---> são 4 raízes e 4 pares ---> E

Fazendo a divisão do polinômio por (x+1) e depois por x acharemos os respectivos restos: 
1º --> a^2 +b^2 -3 = 10
2º --> 4ab = 20

Como o resto da 1ª divisão é igual a 10 e o resto da 2ª é igual a 20, temos o sitema de equações:
a^2 +b^2 = 13
ab = 5

Isolando "a" na 2ª equação teremos que a= 5/b. Substituindo esse valor de "a" na 1ª equação temos a seguinte equação de duplo quadrado:

b^4 -13b^2 +25 =0   ----- {substituindo "b^2" por "y"
y^2 -13y +25 =0

resolvendo a equação acharemos as raízes: y' =13+69^1/2 /2    e    y''=13-69^1/2 /2
Lembrando que b^2 =y , temos quatro valores distintos para b:
b'= (13+69^1/2)^1/2 /2
b''= -(13+69^1/2)^1/2 /2
b'''= (13-69^1/2)^1/2 /2
b''''= -(13-69^1/2)^1/2 /2

Retornando em a= 5/b e substituindo, por vez, cada um dos valores de b, acharemos 4 outros valores distintos de a.

Logo temos 4 pares ordenados (a;b) que satisfazem o que foi pedido no enunciado da questão.

Caí nas mesmas expressões, mas cismei que a e b deveriam ser inteiros.
Obrigado