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P.A. - (soma)

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Mensagem por Paulo Testoni Qua 19 Ago 2009, 08:57

Em uma progressão aritmética a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos dessa progressão? (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 56 (E) 68
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Mensagem por ivomilton Qui 20 Ago 2009, 14:46

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Paulo Testoni Ontem à 3:57 pm

.Em uma progressão aritmética a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos dessa progressão? (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 56 (E) 68

Caro Paulo,

Essa PA poderá ter uma quantidade ímpar de termos, ou uma quantidade par.
Se considerarmos que tenha uma quantidade ímpar, então se a subdividirmos em duas PAs, resultará que a de ordem ímpar teria um termo a mais que a de ordem par, e a soma dos termos extremos de ambas terá o mesmo valor:
_a1_......_a3_......_a5_........_a7_....._a9_ → S = 573
......_a2_......_a4_.....-._a6_......_a8_...... → S = 549

Conforme diagrama acima, a1+a9 = a2+a8 = "a1+an" na fórmula da soma.
Como número de termos, irei utilizar, para a S(ímpar), "k+1" e para a S(par), "k".
Logo, para as duas semi-progressões supra, teremos:

Si = (a1+a9)*(k+1) = 573
Sp = (a2+a8)*k = 549

Dada a igualdade entre as somas dos termos extremos de ambas, poderemos escrever:

573/(k+1) = 549/k

573*k = 549*(k+1) = 549*k + 549
k*(573-549) = 549
k = 549/24 = 22,875

Por termos obtido um número fracionário para "k", isso prova que a quantidade de termos da PA é par, que poderá ser então subdividida em duas PAs com número ímpar ou par de termos.

Se cogitarmos de ela ter número par de termos, teríamos:

_a1_......_a3_......_a5_......_a7_
......_a2_......_a4_......_a6_......_a8_

a1........a1+2r........a1+4r........a1+6r ------- S = 4a1 + 12r = 573 ..... [1]
....a1+r.........a1+3r........a1+5r........a1+7r -- S = 4a1 + 16r = 549 .... [2]

Subtraindo [1] de [2], fica:

4r = –24
r = –6

4a1 + 12r = 573
4a1 + 12(–6) = 573
4a1 – 72 = 573
4a1 = 573 + 72 = 645
a1 + 645/4 = 161,25

Teríamos, então as seguintes semi-progressões:

Si : 161,25 . 149,25 . 137,25 . 125,25 --- S = 573
Sp : 155,25 . 143,25 . 131,25 . 119,25 -- S = 549

Contudo, se as semi-progressões tiverem um número ímpar de termos, não teremos valores fracionários, mas, em nenhuma das tentativas, consegui que a soma dos termos equidistantes dos extremos fosse um valor tão baixo como os fornecidos pelo gabarito!!!

Fazendo n=6 para a PA completa, obtive os seguintes valores para os termos:

a1 .........a1–16..........a1–32......... -- Si=3a1–48=573 → 3a1=573+48=621 → a1=207
......a1–8 .........a1–24 .........a1–40 -- Sp=3a1–72=549 → 3a1=549+72=621 → a1=207

E teremos a seguinte PA (reunida) com valores inteiros:
: 207 . 199 . 191 . 183 . 175 . 167
ordem ímpar = 207 + 191 + 175 = 573
ordem par = 199 + 183 + 167 = 549

Haveria, mesmo, uma solução entre as apresentadas pelo gabarito??

NOTA -Tive muita luta para escrever esta solução, porque a partir de certa altura a tela pula "de volta". Algum problema com o programa? Ou o que será?


Um abraço,
Ivomilton
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