Questão da UFRS 2006 de geometria

por Simonelly Ter 03 Ago 2010, 17:46

Oi, gostaria de saber como eu faço para resolver a questão abaixo,pois não sei como faço já tentei mas não consegui chegar ao resultado que é a letra d, nos meus cálculos dá a letra e.

(UFRS 2006) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r,raio da base r e espessura desprezível,como na figura abaixo.Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é:
a. 1/5
b. 1/4
c. 1/3
d. 1/2
e. 2/3

por **Elcioschin** Ter 03 Ago 2010, 18:49

Volume do cilindro ---> Vc = pi*r²*H -----> Vc = pi*r²*(4r) ----> Vc = 4*pi*r³

Volume de cada esfera ----> v = (4/3)*pi*r³ ----> Volume das 2 esferas ----> Ve = (8/3)*pi*r³

Volume do espaço vazio ----> V = Vc - Ve ----> V = 4*pi*r³ - (8/3)*pi*r³ ----> V = (4/3)*pi*r³

V/Ve = 1/2 ----> Alternativa D

por **Euclides** Ter 03 Ago 2010, 18:52

por **Fafa** Ter 03 Ago 2010, 19:25

$V_{esfera}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$
Volume das esferas
$V_{esferas} = 2.\frac{4}{3}\pi r^{3} \Rightarrow \frac{8}{3}\pi r^{3}$
Volume do cilindro sem as esferas
$V_{cilindro}= \pi r^{2}h\Rightarrow \pi r^{2}4r\Rightarrow 4r^{3}\pi$
Volume do cilindro não ocupado pelas esferas
$V_{cilindro vazio}_-V_{esferas}\Rightarrow 4r^{3}-\frac{8}{3}r^{3}\pi \Rightarrow \frac{4}{3}r^{3}$
Razão entre o volume não ocupado do cilindro e o volume das esferas
$R=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\frac{8}{3}\pi r^3}\Rightarrow \frac{4}{3}\pi r^{3}.\frac{3}{8}\pi r^{3}\Rightarrow \frac{4}{8}\Rightarrow \frac{1}{2}$