Função com duas variáveis

1.Pontos onde f(x,y)= 1/(x+y) é diferenciável.
2.Pontos onde f(x,y)=xcos(x^2+y^2) é diferenciável.

Olá


Existe uma condição suficiente para a diferenciabilidade que é a seguinte: Se as derivadas parciais forem contínuas em certa região,logo a função é diferenciável neste região.




1.





essas derivadas são contínuas em todos pontos do R² exceto em x=-y, logo a função é diferenciável em todos pontos do R² exceto em x=-y, como isso é uma condição suficiente não podemos avaliar por meio dela se a função é diferenciável nos pontos x=-y, então verificamos de outra maneira : para a função ser derivável num ponto ela deve ser contínua (pois se ela não for contínua , ela não é diferenciável) , agora note que a função não está definida pelos pontos x=-y, logo não é contínua e muito menos diferenciável onde x=-y.

Resposta final: "A função é diferenciável em todos pontos do R² exceto em x=-y"







2.

Usando a mesma condição suficiente citada acima :






Como as derivadas parciais são contínuas em qualquer ponto do R², temos que a função é diferenciável em todos pontos do R².