[Básico] Questão sobre ângulos e arco

por RafaelAmorim15 Sex 21 Nov 2014, 16:10

O ponteiro dos minutos de um relógio no topo de uma praça mede, do eixo até a ponta, 6 pés e 3 polegadas.

Qual é o ângulo descrito pelo ponteiro na trajetória entre 9:12 A.M. e 9:48 A.M.?

Qual é a distância, aproximada ao décimo de pés, que a ponta do ponteiro percorrerá durante esse período.

Muito obrigado!

Rafael.

P.S.: Esse problema foi traduzido do inglês.

Segue original:

College Algebra and Trigo escreveu:
Angle of Rotation and Distance The minute hand on the clock atop city hall measures 6 feet 3 inches from its tip to its axle.

Through what angle (in radians) does the minute hand pass between 9:12 A.M. and 9:48 A.M.?

What distance, to the nearest tenth of a foot, does the tip of the minute hand travel during this period?

por **ivomilton** Sex 21 Nov 2014, 17:20

RafaelAmorim15 escreveu:
O ponteiro dos minutos de um relógio no topo de uma praça mede, do eixo até a ponta, 6 pés e 3 polegadas.

Qual é o ângulo descrito pelo ponteiro na trajetória entre 9:12 A.M. e 9:48 A.M.?

Qual é a distância, aproximada ao décimo de pés, que a ponta do ponteiro percorrerá durante esse período.

Muito obrigado!

Rafael.

P.S.: Esse problema foi traduzido do inglês.

Segue original:

College Algebra and Trigo escreveu:
Angle of Rotation and Distance The minute hand on the clock atop city hall measures 6 feet 3 inches from its tip to its axle.

Through what angle (in radians) does the minute hand pass between 9:12 A.M. and 9:48 A.M.?

What distance, to the nearest tenth of a foot, does the tip of the minute hand travel during this period?

Boa tarde, Rafael.

a) Ângulo em radianos:

De 9:12 a 9:48 a diferença é igual a:
48 - 12 = 36 minutos

Cada minuto do relógio corresponde a:
360°/60 = 6°

36 x 6° = 216°

360° — 2∏
216° — x

x = 216/360 * 2∏ = 3/5 * 2∏ = 6∏/5

b) Distância que a ponta do ponteiro percorrerá:
Medida do ponteiro = 6 pés e 3 polegadas = 6 + 3/12 = 6 + 1/4 = 25/4 pés

Arco = 216/360 * 25/4 pés = 3/5 * 25/4 pés = 75/20 pés
Arco = 3 + 15/20 pés = 3 3/4 pés = 3,75 pés = 3,8 pés

Um abraço.

por RafaelAmorim15 Sex 21 Nov 2014, 21:30

Obrigado pela resposta.

A letra A foi de acordo com o que eu respondi porém eu não consegui te acompanhar na B. Dado que o arco é calculado utilizando o ângulo central em radianos, não teria que ser usado o valor de x ao invés do 216 graus?

Grato pela ajuda,

Rafael.

por **ivomilton** Sex 21 Nov 2014, 23:45

RafaelAmorim15 escreveu:Obrigado pela resposta.

A letra A foi de acordo com o que eu respondi porém eu não consegui te acompanhar na B. Dado que o arco é calculado utilizando o ângulo central em radianos, não teria que ser usado o valor de x ao invés do 216 graus?

Grato pela ajuda,

Rafael.

Boa noite, Rafael.

Tanto faz usarmos 216°/360° como (6∏/5)/2∏, pois o valor da fração será o mesmo; veja:
216°/360° = 3/5
6∏/5 / 2∏ = 6/5 / 2 = 6/10 = 3/5

Um abraço.

por RafaelAmorim15 Sáb 22 Nov 2014, 11:54

Mas por que utilizar a fração e não o próprio valor do ângulo central, se estamos buscando o arco referente ao mesmo.
O meu raciocinio foi o seguinte:

s = ß . r (ß é o ângulo cent. - só sei fazer esse símbolo no PC hehe)

s= 6∏/5 . (6 + 3/12)
s= 6∏/5 . 25/4
s= 15∏/2 ∫ ≈ 23.6

Poderia me apontar o erro, ainda não consegui te acompanhar nesse trecho.
Desculpe-me a insistência mas fico intrigado quando não consigo completar um exercício.

Grato,

Rafael

por **ivomilton** Sáb 22 Nov 2014, 17:03

RafaelAmorim15 escreveu:Mas por que utilizar a fração e não o próprio valor do ângulo central, se estamos buscando o arco referente ao mesmo.
O meu raciocinio foi o seguinte:

s = ß . r (ß é o ângulo cent. - só sei fazer esse símbolo no PC hehe)

s= 6∏/5 . (6 + 3/12)
s= 6∏/5 . 25/4
s= 15∏/2 ∫ ≈ 23.6

Poderia me apontar o erro, ainda não consegui te acompanhar nesse trecho.
Desculpe-me a insistência mas fico intrigado quando não consigo completar um exercício.

Grato,

Rafael

Boa tarde, Rafael.

Você tem toda a razão!
A medida em radianos é realmente 6∏/5, a qual não tem por que eu dividir por 2∏; esse foi o meu erro!
De modo que a medida do arco deve ser mesmo em radianos, ou então assim:
Comprimento do arco: 216/360 * 2∏ * 25/4 pés = 3/5 * 2∏ * 25/4 = 15∏/2 pés ≈ (25,6)'
Desculpe pela mancada... Rolling Eyes

Motivada pela DNA (1932).

Um abraço.

por RafaelAmorim15 Sáb 22 Nov 2014, 17:36

Sem problema algum e obrigado pelo feedback!!

Rafael.

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