Equação números complexos

Sabendo que z= a+bi e z2= 2(cosπ/4+isenπ/4), resolva em C, a equação z²+z2=0.

Olá.

z² + z2 = 0 .:. (a+bi)² = -2*(√2/2 + i*√2/2) .:. a² + 2abi + b²i² = -√2 - i√2 .:. a² + 2abi - b² = -√2 - i√2 .:. (a²-b²) + 2abi = -√2 - √2*i

Por igualdade entre a parte real e a parte imaginária:

a²-b² = -√2 e 2ab = -√2 ou seja, a²-b² = 2ab. Temos:

a²-b² = 2ab .:. a² - 2b*a - b² = 0 --> ∆ = (-2b)² - 4*1*-b² .:. ∆  = 4b² + 4b² .:. ∆  = 8b² --> a = (2b +- 2√2b)/2 .:. a = b +- √2b

a²-b² = -√2 .:. (b+√2b)² - b² = -√2 .:. b² + 2√2b² + 2b² - b² = - √2 .:. 2b²*(1+√2) = -√2 .:. b² = (1/√2) * -√2/(1+√2)
 --> b = +-  i/[∜2 * √(1+√2)]

Fazendo com a = b - √2b, tem-se, b = +- i/[∜2 * √(1-√2)]. 

Substitua e encontre a. 

Exercício inconvencionalmente trabalhoso. Talvez exista algum erro no enunciado.

Att.,
Pedro