Números complexos - equação
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Números complexos - equação
por lets29 Qua 29 Mar 2023, 07:54
(UFRJ-97) Se z é um número complexo e z barra seu conjugado, resolva a equação: z^3 = z barra
Gabarito: 0, 1, -1, i e -i
Gabarito: 0, 1, -1, i e -i
Última edição por lets29 em Qua 29 Mar 2023, 20:43, editado 1 vez(es)
lets29- Padawan
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Re: Números complexos - equação
por DaoSeek Qua 29 Mar 2023, 15:47
Tomando o módulo temos:
\(|z^3| = |\overline z| \implies |z|^3 = |z| \implies |z| = 0 \textrm{ ou } |z| = 1 \)
Se |z| = 0, então temos a solução z = 0. Caso contrário teremos |z| = 1. Assim, voltando a equação temos
\(z^3 = \overline z \implies z^3 \cdot z = \overline z \cdot z = |z|^2 = 1 \implies z^4 = 1\)
As raízes quartas de 1 são exatamente 1, -1, i, -i. Assim, as soluções da equação são 0,1,-1,i,-i
\(|z^3| = |\overline z| \implies |z|^3 = |z| \implies |z| = 0 \textrm{ ou } |z| = 1 \)
Se |z| = 0, então temos a solução z = 0. Caso contrário teremos |z| = 1. Assim, voltando a equação temos
\(z^3 = \overline z \implies z^3 \cdot z = \overline z \cdot z = |z|^2 = 1 \implies z^4 = 1\)
As raízes quartas de 1 são exatamente 1, -1, i, -i. Assim, as soluções da equação são 0,1,-1,i,-i
DaoSeek- Jedi
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Data de inscrição : 29/07/2022
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