Números complexos (equação)

por JOSIVANIA MAIA Sex 08 Nov 2013, 17:14

calcule as raizes da equacao z elevado a 6 - 64=0

por Lost619 Sex 08 Nov 2013, 18:43

z⁶ - 64 = 0

[z³ + 8].(z^{3 -} 8] = 0

Para o z³ - 8

z³ - 8 = 0

Uma das raízes é 2. Aplicando Briot Ruffini, você irá chegar na equação x² + 2x + 4. Resolvendo-a você irá encontra como raízes - 1 + i√3 e - 1 - i√3

Para o z³ + 8

Uma das raízes é o - 2. Aplicando Briot ruffini, você irá chegar na equação x² - 2x + 4. Resolvendo você irá encontra como raízes 1 + i√3 e 1 - i√3

S = { 1 - i√3 ; 1 + i√3 ; - 1 + i√3 ; - 1 - i√3 ; 2 ; -2}

por PedroCunha Sex 08 Nov 2013, 20:21

Uma outra maneira é:

z^6 - 64 = 0
z^6 = 64
z^6 = 2^6(cos 2\pi + isen2\pi}

Mas da segunda lei de Moivre, temos:

$\\z = \sqrt[n]p \cdot \left[ cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n} \right ) + isen\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n} \right ) \right ]\\\\z = \sqrt[6]{2^6} \cdot \left[ cos \left(\frac{2\pi + 2k\pi}{6} \right ) + isen\left(\frac{2\pi + 2k\pi}{6} \right ) \right ] \\\\\text{Para k = 0:}\\\\z = 2 \cdot \left[ cos(\frac{\pi}{3}) + isen \frac{\pi}{3} \right ] \\z = 2 \cdot (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}) \therefore z = 1 + i\sqrt3 \\\\\text{Para k = 1:}\\\\z = 2 \cdot \left[ cos(\frac{2\pi}{3}) + isen \frac{2\pi}{3} \right ] \\z = 2 \cdot (-\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}) \therefore z = -1 + i\sqrt3 \\\\ \text{Para k = 2:}\\\\z = 2 \cdot \left[ cos(\pi) + isen (\pi) \right ] \\z = 2 \cdot (-1 + i \cdot 0) \therefore z = -2\\\\\text{Para k = 3:}\\\\z = 2 \cdot \left[ cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) + isen \left(\frac{4\pi}{3}\right) \right ] \\\\z = 2 \cdot (-\frac{\sqrt3}{2} - i \cdot \frac{1}{2}) \therefore z = -\sqrt3 - i\\\\ \text{Para k = 4:}\\\\z = 2 \cdot \left[ cos \left(\frac{5\pi}{3} \right ) + isen \left( \frac{5\pi}{3} \right) \right ] \\\\z = 2 \cdot (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}) \therefore z = 1 - i\sqrt3\\\\\text{Para k = 5:}\\\\z = 2 \cdot \left[cos (2\pi) + i sen(2pi)\right] \\\\ z = 2 \cdot (1 + i \cdot 0) \rightarrow z = 2 \\\\ S\{1 + i\sqrt3, -1 + i\sqrt3, -2, -\sqrt3 - i, 1 -i\sqrt3,2 \}$

Att.,
Pedro

por larimacellari Sex 08 Nov 2013, 22:24

Pedro, eu gostaria de entender como você envolveu seno e cosseno nessa conta. Por favor, poderia me explicar?

Mais precisamente, essa parte aqui: z^6 = 64
z^6 = 2^6(cos 2\pi + isen2\pi}

por PedroCunha Sex 08 Nov 2013, 22:34

Veja:

Seja um número complexo z qualquer tal que z = a + bi

Sabemos que a forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo é dada por:

z = p * (cosθ + i senθ)

onde P representa o módulo do número complexo (p = √ (a² + b²)) e θ representa o argumento do número complexo (tg θ = b/a).

Agora veja. Comparando o número dado no exercício com a forma geral de um número complexo temos:

2 + 0i = a + bi -> (é 2 + 0i pois 2^6 + (0i)^6 = 64)
a = 2
b = 0

Agora, sabemos que o valor máximo que o cosseno e o seno podem assumir é 1. Logo, o módulo de z deve valer 2, concorda?

Por fim, pense comigo: Qual é o ângulo que faz o cosseno valer 1 (2 * 1= 2) e que faz o seno valer 0 (2 * 0i = 0i)? Esse ângulo é 360° ou 2pi. Sendo assim a forma polar do número z é:

Z = p * (cosθ + isenθ)
Z = 2 * (cos (2pi) + isen(2pi)

É isso.

Qualquer dúvida retorne, Wink

Att.,
Pedro

por JOSIVANIA MAIA Sáb 09 Nov 2013, 14:52

Determine todas as soluções da equação (z²-1)³=1

por PedroCunha Sáb 09 Nov 2013, 15:11

Uma questão por tópico. Regras do fórum.

por JOSIVANIA MAIA Sáb 09 Nov 2013, 16:06

Mostre que se w #1 é uma raiz n-ésima da unidade, então:
a) 1 + w + w² + .... + w^(n-1)= 0
b) 1 + 2w + 3w² + ...+nw^(n-1)= n /w-1

por JOSIVANIA MAIA Sáb 09 Nov 2013, 16:13

Mostre que se, se n é par então o polinômio p(x)= xⁿ+x^n-1+...+x+1 não possui raízes reais.

por **Elcioschin** Sáb 09 Nov 2013, 16:52

Josivania

A Regra VI do fórum estabelece 1 questão por tópico
Você já foi alertada pelo Pedro e insistiu em acrescentar questões.
Por favor, leia e siga as Regras, sob pena de ter sua mensagens bloqueadas e não respondidas