UEL - Áreas triângulos semelhantes

por rom.vianna@gmail.com Sex 24 Out 2014, 21:27

Olá amigos,

Já fiz umas 5 vezes e não consigo.

Um pátio tem a forma de um triângulo equilátero de lado L. Deseja-se construir uma calçada conforme indicada na região hachurada da figura. A Área da calçada será:

a) L²√3 / 3
b) L²√2 / 6
c) L²√3 / 6
d) L²√2 / 12

To achando que a apostila está errada. Não seria a primeira vez q ela falha. rsrs

Como resposta sempre encontro = L²√3 / 12

Favor ver meus cálculos abaixo.

UEL - Áreas triângulos semelhantes Xptzwg

UEL - Áreas triângulos semelhantes Xptzwg

Digamos que a apostila tá errada e eu to certo, mesmo assim tem um jeito menos trabalhoso para chegar no resultado?

Agradeço, desde já, a atenção.

Muito obrigado

por **Medeiros** Sex 24 Out 2014, 22:52

concordo com a sua resposta: L²√3/12

uma forma mais rápida é considerar os triângulos equivalentes que são formados. Assim:
FQ = AQ = AF = 2L/3
DE = AE = AD = L/3
e utilizar a fórmula para cálculo da área do triângulo equilátero: S = L²√3/4

por rom.vianna@gmail.com Sáb 25 Out 2014, 01:32

Muito obrigado nobre e solicito amigo.

Fico sem palavras para expressar o quão grato eu fico.

Vlw mesmo.

por **Carlos Adir** Sáb 25 Out 2014, 08:33

Dá pra usar semelhança de triangulos. Se é um triangulo equilátero, então:
$h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$
Assim, sendo b a base da parte rachurada, e c a base do ultimo triangulo, então:
$\dfrac{l/2}{b} = \dfrac{l\sqrt{3}/2}{2/3 \left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2} \right )} \rightarrow b=\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{l/2}{c} = \dfrac{l\sqrt{3}/2}{1/3 \left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2} \right )} \rightarrow c=\dfrac{1}{6}$
Agora é só achar a área dos dois:
$\\ Area_1: \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2} \right )}{2} = \dfrac{l\sqrt{3}}{18} \\ Area_2: \dfrac{\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2} \right )}{2} = \dfrac{l\sqrt{3}}{72}\\ Area_1 - Area_2 = \dfrac{l\sqrt{3}}{18}-\dfrac{l\sqrt{3}}{72}=\dfrac{l\sqrt{3}\left(4-1 \right )}{72}=\dfrac{l\sqrt{3}}{24}$
Mas eu contei apenas metade da area rachurada. Portanto, a área total é:
$\dfrac{l\sqrt{3}}{12}$
Confirmando sua resposta.

por **Elcioschin** Sáb 25 Out 2014, 09:57

Outro modo mais simples:

O trapézio tem base maior 2L/3 e base menor L/3. A base média vale: Bm = L/2

A altura do trapézio vale: h = (L/3).cos30º = L.√3/6

S = Bm.h ---> S = (L/2).(L.√3/6) ---> S = L².√3/12